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"Verwandle in eine Summe" - so geht das Ausmultiplizieren

In der Schule stoßen Kinder irgendwann auf die Aufgabe, ein Produkt in eine Summe verwandeln zu müssen. "Verwandle" ist dabei eigentlich ein schlechter Ausdruck, denn das Ausmultiplizieren ist kein geheimnisvoller Trick, es geht ganz leicht.

Rechnen mit Unbekannten ist nicht schwer
Rechnen mit Unbekannten ist nicht schwer © bernhard_pixler / Pixelio

Verwandle dieses Produkt in eine Summe!

  • Dies funktioniert nur bei Produkten, in denen mindestens eine Klammer steht, in der eine Summe genannt wird.
  • Identifizieren Sie zunächst die Unbekannten, die in den Klammern stehen.
  • Werden gleiche Unbekannte innerhalb einer Klammer addiert, können Sie dies vorbereitend schon ausrechnen: 4*(x+x+y+y+y)= 4*(2x+3y)
  • Beim einfachsten Beispiel wird eine Summe in einer Klammer mit einer Zahl multipliziert. In diesem Fall müssen Sie jeden Summanden in der Klammer mit dieser Zahl multiplizieren und können so die Klammer weglassen: 4*(2x+3y)=8x+12y
  • Befindet sich auch außerhalb der Klammer eine Unbekannte, so müssen Sie diese ebenfalls mit den Summanden in der Klammer multiplizieren: 4x*(2x+3y)=8x²+12xy

Ausmultiplizieren bei zwei umklammerten Summen

  • Wenn Sie zwei Summen haben, die miteinander multipliziert werden, müssen Sie jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe multiplizieren: (4x+2y)*(2x+3y)=8x²+12xy+6y²+4xy
  • Gleiche Unbekannte beziehungsweise gleiche Produkte aus Unbekannten können Sie nun wieder addieren: 8x²+12xy+6y²+4xy=8x²+16xy+6y²
  • Kommt noch eine dritte Unbekannte hinzu verfahren Sie ebenso:(4x+2z)*(2x+3y)=8x²+12xy+4zx+6zy (Hier kann dann keine weitere Zusammenfassung erfolgen.)
  • Werden die Summen größer, ändert sich für Ihre Rechenweise nichts, wie Sie an diesem Beispiel sehen: (4x+3y+2z)*(3x+5y+3z)=12x²+20xy+12xz+9yx+15y²+9yz+6zx+10zy+6z²
  • Da innerhalb von Produkten und innerhalb von Summen das Vertauschungsgesetz gilt, können Sie hier wieder zusammenfassen: 12x²+20xy+12xz+9yx+15y²+9yz+6zx+19zy+6z²=12x²+15y²+6z²+29xy+18xz+28yz

Sie sehen also: "Verwandle" ist hier wirlich nicht angebracht; das Ausmultiplizieren ist keine Zauberei, sondern ein ganz einfacher Rechenweg.

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