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Verschieben und Strecken von Graphen - so müssen die Formeln umgestellt werden

Sie sollen den Graphen einer Funktion verschieben und strecken? Kein Problem, wenn man diese beiden geometrischen Aktionen in der Funktionsgleichung berücksichtigt.

Strecken Sie einen Graphen.
Strecken Sie einen Graphen.

Was Sie benötigen:

  • Grundkenntnisse Funktionen
  • evtl. Taschenrechner
  • evtl. Formelsammlung

Den Graphen strecken - so wird's gemacht

  • Wenn Sie den Graphen einer Funktion f(x) strecken sollen, dann vergrößern Sie im Prinzip alle y-Werte dieser Funktion um einen gewissen Faktor k, einer Zahl, die größer als 1 ist.
  • Vorstellen kann man sich die geometrische Aktion des Streckens, als würde man den Graphen der Funktion in Richtung y-Achse wie einen Gummi ziehen und die abgebildete Funktion macht dies mit.
  • Mathematisch können Sie das Strecken des Graphen berechnen, ein kompliziertes Umstellen der Formel für die Funktion ist nicht nötig. Multiplizieren Sie einfach den y-Wert der Funktion mit dem Streckfaktor k. Dies ist übrigens auch im Graphen möglich, indem Sie einige der y-Werte der Funktion k-fach abtragen. 
  • Bei der Normalparabel f(x) = x² gelingt dies besonders einfach, Sie müssen die Funktionsgleichung lediglich mit dem Streckfaktor k malnehmen und erhalten für die gestreckte Funktion f(x) = k * x².

Graphen verschieben - so gehen Sie vor

  • Auch das Verschieben eines Funktionsgraphen in einem Koordinatensystem ist keine schwierige Aufgabe.
  • Sie benötigen lediglich zwei Verschiebungsangaben, nämlich die Größe der Verschiebung in x-Richtung und in y-Richtung, allgemein auch Verschiebungsvektor der Form (a,b) genannt.
  • Die neuen Koordinaten der Funktion erhalten Sie nach der Verschiebung dann x' = x + b und y' = y + b.
  • Die Formel für die Funktionsgleichung lässt sich hieraus leicht berechnen. Sie müssen lediglich die beiden obigen Gleichungen nach x und y auflösen und in die Funktionsgleichung einsetzen.
  • Als Beispiel diene wieder die Normalparabel y = x², die in x-Richtung um 2 Einheiten (also nach rechts) und in y-Richtung um -3 Einheiten (also nach unten) verschoben werden soll.
  • Der Verschiebungsvektor dieser geometrischen Aktion heißt entsprechend (2/-3) und als neue Koordinaten erhalten Sie entsprechend x' = x + 2 und y' = y - 3.
  • Um die Formel für die Funktionsgleichung zu erhalten, stellen Sie zunächst so um: x = x' - 2 und y = y' + 3.
  • Diese beiden Transformationsgleichungen setzen Sie nun in y = x² ein und erhalten: y' + 3 = (x' - 2)² und umgeformt: y' = (x' - 2)" - 3. Zur Übung sollten Sie diese neue Parabel grafisch darstellen, um zu sehen, ob das Verschieben auch gelungen ist.
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