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Umkehrfunktion des Sinus bestimmen - so funktioniert's

Die Sinusfunktion dürfte Ihnen wahrscheinlich noch aus der Schulzeit bekannt sein. Doch auch die Umkehrfunktion des Sinus, der Arkussinus ist nicht weniger wichtig. In der Schule oftmals verschwiegen, benötigen Sie die Funktion besipielsweise dazu, um die Gleichung y = sin(x) nach x aufzulösen. Hier erfahren Sie mehr darüber.

Arkussinus und Sinus - ein perfektes Paar!
Arkussinus und Sinus - ein perfektes Paar!

Was Sie benötigen:

  • trigonometrische Kenntnisse
  • Umkehrfunktion
  • grafikfähigen Taschenrechner
  • Stift
  • Papier

Vom Sinus zum Arkussinus - so geht's

Die Funktion mit der Funktionsvorschrift y = sin(x) dürfte Ihnen noch bekannt vorkommen. Es ist eine periodische Funktion mit der Periode 2π. Der Wertebereich erstreckt sich von -1 bis +1 und ist für alle x Є R definiert. Nun möchten Sie wahrscheinlich wissen, ob diese Funktion umkehrbar ist und wie deren Umkehrfunktion aussieht.

  1. Zunächst einmal können Sie die Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich nicht umkehren. Da die Sinusfunktion 2π-periodisch ist gilt ja f(0) = f(2π) = 0, damit ist die Funktion nicht injektiv und damit auch nicht bijektiv, also nicht umkehrbar.
  2. Schränken Sie die Funktion allerdings auf den Definitionsbereich x Є [-π/2, +π/2] und den Wertebereich y Є [-1, +1] ein, so ist die Sinusfunktion auf diesem Intervall streng monoton wachsend (Abbildungsvorschrift: sin: [-π/2, +π/2] -> [-1,+1]) und Sie können die Funktion aufgrund ihrer Bijektivität nun umkehren. Die Umkehrfunktion des Sinus heißt Arkussinus.
  3. Zum Arkussinus gelangen Sie durch Auflösen und Umstellen der Gleichung: y = sin(x) <=> arcsin(y) = arcsin(sin(x)) <=> arcsin(y) = x und indem Sie x und y anschließend wieder vertauschen. Schließlich erhalten Sie y = arcsin(x).

Die Umkehrfunktion Arkussinus - Eigenschaften

  • Der Definitionsbereich und der Wertebereich der Umkehrfunktion Arkussinus sind dabei genau umgekehrt zur eingeschränkten Sinusfunktion von oben. Es gilt also die Abbildungsvorschrift arcsin: [-1, +1] -> [-π/2, +π/2] und wie Sie sehen, ist diese Funktion, wie die eingeschränkte Sinusfunktion, auf ihrem Definitionsbereich streng monoton wachsend.
  • Der arctan ist die Umkehrfunktion des Tangens im Intervall ]-pi/2,pi/2[. Das ist …

  • Auch die Punktsymmetrie zum Ursprung können Sie leicht bestimmen. Sie müssen lediglich die Voraussetzung f(x) = -f(-x) überprüfen, hier also arcsin(-x) = -arcsin(x).
  • Die Nullstelle der Arkussinusfunktion erhalten Sie, wenn Sie die Bedinung arcsin(x) = 0 heranziehen und nach x auflösen. Der Graph der Arkussinusfunktion lässt vermuten, dass der Punkt O(0|0) neben der Nullstelle auch zugleich Wendepunkt ist. Dies können Sie beweisen, indem Sie die zweite Ableitung (arcsin(x))'' = 0 setzen und zeigen, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel hat.
  • Beispiel: Sie möchten folgende Gleichung lösen: 1/2 = sin(2x). Wenden Sie nun die Arkussinusfunktion auf beide Seiten an. Dann folgt arcsin(1/2) = arcsin(sin(2x)) <=> arcsin(1/2) = 2x <=> x = arcsin(1/2)/2 <=> x = π/12.

Nun sollten Sie in der Lage sein mit der Arkussinusfunktion arbeiten zu können. Machen Sie sich bei zusammengesetzten Funktionen am besten immer eine Skizze oder lassen Sie dies Ihren grafikfähigen Taschenrechner erledigen.

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