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Umkehraufgaben richtig durchführen - so geht's

Umkehraufgaben richtig durchführen - so geht's2:44
Video von Galina Schlundt2:44

Umkehraufgaben - da stöhnt in Mathe doch der eine oder andere Schüler, denn dabei ist es wichtig, die eingetretenen Übungspfade zu verlassen und neue Ideen zu kreieren. Dies erinnert ein bisschen daran, eine Frage zu einer fertigen Antwort zu wissen.

Was Sie benötigen:

  • Bleistift und Papier
  • evtl. Taschenrechner
  • evtl. Formelsammlung

Umkehraufgaben - was ist das?

Umkehraufgaben gibt es vor allem im Mathematikunterricht. Allerdings spiegeln viele dieser Aufgaben durchaus Situationen aus dem täglichen Leben wieder - vor allem Textaufgaben.

  • Umkehraufgaben erinnern immer ein wenig an Aufgaben, bei denen man die Antwort weiß, aber die Frage (in diesem Fall die Aufgabe in ihrer ursprünglichen Form) sucht.
  • Umkehraufgaben sind für die Schulung des mathematischen Denkens, aber auch für kreatives Denken beim Suchen der Lösung wichtig. Zudem wird bei vielen Umkehraufgaben auch der Transfer bereits gelernten Wissens eingeübt.

Umkehraufgaben in den Grundrechenarten - leichte Beispiele

  • Die Grundrechenarten sind Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (x) sowie die Division (:).
  • Umkehraufgaben können Sie in diesem Bereich der Mathematik besonders leicht durchführen (und sie dienen oft sogar zur Einführung einer neuen Rechenart wie zum Beispiel der Division).
  • Zu der Aufgabe 3 + 4 = 7 sind zwei Umkehraufgaben möglich, nämlich 7 - 4 = 3 bzw. 7 - 3 = 4. Addition und Subtraktion sowie Multiplikation und Division sind jeweils zueinander umgekehrte Rechenoperationen.

So gelingen Umkehraufgaben bei Funktionen

Auch in den fortgeschrittenen Rechenarten gibt es unzählige Umkehraufgaben.

  • So ist beispielsweise das Wurzelziehen die Umkehrung zum Quadrieren: Sie suchen eine Zahl, deren Quadrat bekannt ist. Ein Beispiel ist x² = 49. Die gesuchte Zahl ist natürlich Wurzel (49) = +7 oder -7.
  • Auch andere höhere algebraische Rechenoperationen wie das Potenzieren (ex) oder die Winkelfunktionen (sin, cos, tan) können Sie als Umkehraufgaben formulieren, was in jedem Fall zu neuen Rechenmöglichkeiten führt.
  • Im Fall des Potenzierens erhalten Sie als neue Rechenoperation den Logarithmus (Sie fragen nach der Hochzahl) und für die Winkelfunktionen den arcsin bzw. sin-1 (Sie fragen nach Winkel oder Kreisbogen). Auf vielen Taschenrechnern können Sie derartige Umkehraufgaben mithilfe der Taste "INV" für "invert", also umkehren, lösen. 

Ein Beispiel für Umkehraufgaben in der Analysis

Das wohl bekannteste Beispiel einer Umkehraufgabe aus der Analysis ist die Umkehrung der Kurvendiskussion. In diesem Fall kennen Sie von einer Funktion (meist ein Polynom) einige markante Punkte wie zum Beispiel Nullstellen, Extrema oder Wendepunkte. In Umkehrung der typischen Kurvendiskussion suchen Sie in diesem Fall die Funktionsgleichung. Als Beispiel sei ein Polynom dritten Grades gesucht, das in P(1/6) ein Extremum hat und in Q(0/4) einen Wendepunkt.

  1. Sie setzen die gesuchte Funktion an als f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Die Koeffizienten a, b, c und d sich die Unbekannten, die Sie aus den Bedingungen berechnen müssen.
  2. Aus den Angaben in der Aufgabe ergeben sich 4 Bedingungen (entspricht der Anzahl der Unbekannten!).
  3. Sie erhalten: f(1) = 6 (Punkt muss Funktionsgleichung erfüllen), f'(1) = 0 (Extremumbedingung), f(0) = 4 (Punktbedingung), f''(0) = = (Wendepunktbedingung).
  4. Wenn Sie die x- und y-Werte aus den Bedingungen jeweils in die Funktionsgleichung f(x) und den beiden Ableitungen f'(x) und f''(x) einsetzen, erhalten Sie vier Gleichungen mit vier Unbekannten, die Sie lösen müssen.

Übrigens: Die Umkehraufgabe zum Differenzieren bzw. Ableiten ist das Integrieren bzw. Suchen der Stammfunktion: Sie kennen von einer Funktion die Ableitung und suchen die Funktion selbst!

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