Baum und Wurzel sind eine Umkehrung.
Umkehraufgaben gibt es im Laufe eines Schülerlebens unzählige. Wurzelgleichungen als Umkehrung quadratischer Gleichungen sind ein eher spezielles Problem, das sich mit etwas mathematischem "Pfiff" lösen lässt.
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- 08.02.2012 Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen
Was Sie benötigen
Dafür brauchen Sie beide Hände
- Zeit und Geduld
- Grundwissen "quadratische Gleichungen"
- Grundwissen "Wurzeln"
Umkehraufgaben - das sollten Sie wissen
Im Laufe eines Schülerlebens begegnen Ihnen unzählige Umkehraufgaben, angefangen von den Grundrechenarten bis hin zum Finden von Funktionsgleichungen.
- Grundsätzlich wird bei einer Umkehraufgabe das (mathematische) Problem von hinten aufgezäumt. Man könnte dies damit vergleichen, dass man die Lösung einer Aufgabe schon kennt und die Aufgabe dazu sucht.
- Derartige Fragestellungen gibt es jedoch nicht nur in der Mathematik, sondern auch oft in der alltäglichen Praxis oder in den Naturwissenschaften.
- Das Suchen der Lösung derartiger Umkehraufgaben erfordert oft neue Rechenoperationen oder funktionelle Zusammenhänge. Als Beispiel seien die Wurzelgleichungen bzw. überhaupt das Wurzelziehen genannt, als Umkehrung des Quadrierens.
Wurzelgleichungen - so werden Sie gelöst
Jede Wurzelgleichung kann als Umkehrung einer quadratischen Gleichung interpretiert werden.
- Für das Lösen von Wurzelgleichungen, also Gleichungen, in denen Wurzeln vorkommen, gelten einige allgemeine Regeln.
- Kommt in der Wurzelgleichung nur eine Wurzel vor, so separieren Sie diese auf eine Seite der Gleichung, alle anderen Terme wandern auf die andere Seite der Gleichung.
- Dann quadrieren Sie die gesamte Gleichung - ein Merkmal der Umkehraufgaben.
- Nun lösen Sie die entstandene, oft quadratische Gleichung entsprechend der erlernten mathematischen Techniken auf.
Treten in der Wurzelgleichung zwei (oder noch mehr) Wurzeln auf, so separieren Sie diese beiden auf je eine Seite der Gleichung, bevor Sie die Gleichung quadrieren.
Umkehraufgabe - ein durchgerechnetes Beispiel
Als Beispiel sei die Wurzelgleichung x + 4 = Wurzel (x - 1) gegeben.
- Bei dieser Umkehraufgabe haben Sie Glück, denn die Wurzel ist schon auf der einen Seite der Gleichung separiert, der andere Term (x + 4) befindet sich auf der anderen Seite der Gleichung.
- Sie können in diesem Fall also direkt quadrieren und erhalten: (x + 4)² = x - 1. Beachten Sie, dass immer die komplette Seite der Gleichung quadriert wird. Auf der linken Seite entsteht dadurch eine binomische Formel, rechts entfällt die Wurzel (Wurzel und Quadrieren "löschen" sich gegenseitig als Rechenoperation).
- Nun lösen Sie die binomische Formel auf und lösen die entstehende quadratische Gleichung. Sie erhalten: x² + 8x + 16 = x - 1 und daraus: x² + 7x + 17 = 0, eine Gleichung, die leicht mit der pq-Formel gelöst werden kann.
