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Treffpunkt Weg-Zeit-Funktion: unterschiedliche Startpunkte - Berechnung

"Tim steigt in Köln um 18:00 Uhr in einen Zug und fährt mit 160 km/h nach Hamburg. Gleichzeitig steigt Jonas in Hamburg in einen Zug und kommt Tim mit 120 km/h entgegen. Wann treffen sich die beiden?" Diese Art von Aufgabe, bei der es darum geht, anhand von Angaben über die unterschiedlichen Startpunkte, den Weg, die Zeit und die Geschwindigkeit den Treffpunkt zweier Objekte zu berechnen, sind in Rätsel- und Mathebüchern sehr beliebt. Doch wie lassen sich hier Funktionsgleichungen aufstellen und wie wird die Aufgabe gelöst?

Fahren Züge aufeinander zu, treffen sie sich irgendwann.
Fahren Züge aufeinander zu, treffen sie sich irgendwann.

Funktionen für die unterschiedlichen Startpunkte, Weg und Zeit erstellen

Wenn Sie eine Aufgabe des beschriebenen Typs lösen wollen, ist es unabdingbar, dass Sie Informationen über den zurückzulegenden Weg zwischen den unterschiedlichen Startpunkten haben, ebenso wie über die Geschwindigkeit der Objekte, also die Zeit, in der sie einen bestimmten Weg zurücklegen.

  • Wenn Sie das Beispiel aus der Einleitung nehmen, müssen Sie wissen, dass Köln und Hamburg etwa 450 Kilometer auseinanderliegen. Nun erstellen Sie einen Funktionsterm, der die Bewegung von Tim beschreibt: f(x) = x * 160km/h. x ist hierbei die Zeit, die Tim im Zug sitzt, f(x) ist folglich die zurückgelegte Strecke. Für Jonas lautet der Term f(x) = x * 120km/h.
  • In den beiden Funktionstermen ist noch nicht berücksichtigt, dass sich die Jungen in unterschiedliche Richtungen bewegen. Um dies zu berücksichtigen, wird Jonas' Bewegung von der Distanz zu Tim abgezogen, also f(x) = 450km - x * 120 km/h.

So berechnen Sie den Treffpunkt

  • Um den Treffpunkt zu ermitteln, müssen Sie beide Funktionsterme gleichsetzen. x * 160km/h = 450km - x * 120km/h. Rechnen Sie nun auf beiden Seiten + x * 120km/h. Nun lautet die Gleichung: x * 280km/h = 450km. Teilen Sie nun durch 280km. Übrig bleibt: x * h = 1,61. Nach 1,6 Stunden, als 96 Minuten, treffen sich die beiden Züge.
  • Sie können die Funktionen übrigens auch in ein Koordinatensystem übertragen. Tun sie dies, werden Sie feststellen, dass sich die beiden Geraden in einem Punkt schneiden. Dies ist der Treffpunkt der beiden Züge. Die unterschiedlichen Startpunkte werden dabei durch eine Verschiebung von Jonas auf der Y-Achse (Weg) um 450km berücksichtigt. Die X-Achse beschreibt die Zeit. Die Geschwindigkeit ist die jeweilige Steigung der Funktion.
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