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Trägheitsmoment für einen Stab - so berechnen Sie es

Das Trägheitsmoment ist ein Maß für den Widerstand, den Körper einer Drehbewegung entgegensetzen. Dieses "gewichtige" Moment lässt sich - mit etwas Geschick - für einige Körper berechnen, auch für einen Stab, der um seine senkrechte Achse rotiert.

Rotationen lassen sich durch Trägheitsmomente charakterisieren.
Rotationen lassen sich durch Trägheitsmomente charakterisieren.

Was Sie benötigen:

  • Grundkenntnisse "Mechanik"
  • Grundkenntnisse "Integralrechnung"
  • sowie Zeit und Interesse

Trägheitsmoment und Drehbewegungen - das sollten Sie wissen

  • Körper setzen Bewegungsänderungen einen gewissen Widerstand entgegen, sei es, Sie wollen diese beschleunigen, abbremsen oder in eine Kurve zwingen.
  • Bei einer linearen Bewegung wird dieser "Widerstand" durch die Masse des Körpers (in Kilogramm, alltagssprachlich als "Gewicht" bezeichnet) ausgedrückt.
  • Anders liegt der Sachverhalt bei einer Drehbewegung bzw. Rotation.
  • Hier spielt das Trägheitsmoment eine Rolle, in welches nicht nur die Gesamtmasse, sondern auch ihre Verteilung um die Rotationsachse eine Rolle spielt.
  • Schon von der Anschauung her ist es ja nicht egal, ob man eine schwere Masse in einigem Abstand beispielsweise an einer Schnur in Rotation versetzt oder eine massive Kugel um eine Achse durch ihren Mittelpunkt rotiert.
  • Dementsprechend ist das Trägheitsmoment ein meist kompliziertes Integral über einzelne Massestückchen und deren Abstand von der Drehachse, das Sie für einen bestimmten Körper - hier einen Stab - lösen müssen.

Trägheitsmoment für einen Stab - so gehen Sie vor

  • Das Trägheitsmoment wird meist mit "Θ" (sprich: Teta) bezeichnet und hat die Einheit "kgm²".
  • Für eine (punkteförmige gedachte) Masse, die in einem Abstand r um eine Achse kreist, beträgt das Trägheitsmoment Θ = mr².
  • Für geometrisch einfach geformte Körper wie zum Beispiel Kugeln, Stäbe, Rohre, Zylinder oder auch Ellipsoide lässt sich das Trägheitsmoment durch ein Integral berechnen, das sich (dreidimensional) über das Volumen des Körpers erstreckt. Hierbei wird also die Massenverteilung des Körpers berücksichtigt.
  • Die Formel hierfür lautet: Θ  = ∫V r² dm. Die Integration erfolgt über das gesamte Volumen des Körpers, was durch das tief gestellte "V" am Integral angedeutet werden soll. Durch geschickte Aufteilung des Körpers in kleine Volumen- bzw. Masseteile lässt sich das Integral für einige Fälle durchaus lösen.
  • Hat man es mit einem Körper homogener Dichte ρ zu tun, lässt sich "dm" durch den Ausdruck "ρ dV" ersetzen und es gilt dann für die Berechnung: Θ  = ρ ∫V r² dV.
  • Im Beispiel rotierte ein (langer, dünner) Stab der Länge L um eine zum Stab senkrechte Achse, die durch seinen Mittelpunkt gehen soll.
  • Zerlegen Sie nun den Stab der Länge nach in kleine Massenstückchen, die eine Länge dx und einen Querschnitt q haben sollen. Für das Volumenelement der Integration erhalten Sie dann dV= q dx. Die Integrationsgrenzen müssen Sie nun von -L/2 bis +L/2 wählen, da die Rotation ja durch den Mittelpunkt geht.
  • Sie berechnen Θ  = ρ q ∫ x² dx = 1/12 ρ q L³. Da jedoch die Masse des Stabes M = ρ q L beträgt (Dichte mal Volumen!) ergibt sich für das Trägheitsmoment in diesem Beispiel Θ = 1/12 ML². 
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