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Teilweise radizieren - so gelingt es

Das teilweise Radizieren von Wurzeln bereitet Schülern immer wieder Schwierigkeiten. Dabei ist das Gebiet einfach, wenn man die Grundlagen beherrscht.

Keine Angst vorm Radizieren
Keine Angst vorm Radizieren

Grundlagen des teilweisen Radizierens

Beim teilweisen Radizieren von Wurzeln geht es darum, eine Zahl in einen problemlos radizierbaren Anteil und einen nicht radizierbaren Anteil zu zerlegen, besser gesagt zu faktorisieren. Machen Sie sich mit den Grundvoraussetzungen vertraut:

  • Halten Sie sich die Teilbarkeitsregeln vor Augen, eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist, Entsprechendes gilt für die 9. Ferner ist eine Zahl durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine gerade Zahl ist, durch 4, wenn die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind. Eine 5 oder 0 als letzte Ziffer zeigt deutlich die Teilbarkeit durch 5 an.
  • Ferner sollten Sie die Quadratzahlen auswendig können, denn es nutzt Ihnen nichts, wenn Sie Wurzel 289 sehen, aber nicht erkennen, dass 289 = 172 ist, die Wurzel aus 289 also 17 ist. In der Schule reichen die Quadratzahlen von 02 bis 252 aus. Taschenrechner und Tabellen mit Quadratzahlen sind zu umständlich, wenn Sie in einer Klassenarbeit teilweise radizieren sollen, abgesehen davon sind diese Hilfsmittel oft nicht zugelassen, wenn dieses Thema überprüft wird.

So machen Sie Wurzeln teilweise rational

Im Folgenden ersetzt der Buchstabe W das Wurzelzeichen. Auch wenn Ihnen die Quadratzahlen geläufig sind, ist es manchmal schwer, in einer Zahl zu erkennen, dass Sie das Produkt mit einer Quadratzahl ist. Nehmen Sie die 3675. Sie erkennen vermutlich kaum, dass man sie in ein Produkt zerlegen kann, dass eine Quadratzahl enthält.

  1. Leicht zu erkennen ist, dass die Zahl durch 5 teilbar ist, zerlegen Sie die Zahl also in die Faktoren 5 und 735. Sie erkennen sofort, dass auch 735 durch 5 teilbar ist, demnach können Sie 3675 in die Faktoren 5, 5 und 147 zerlegen. Die Vermutung liegt also nahe, dass 3675 das Produkt von 25 und 147 ist, also W 3675 = 5 W 147 sein muss.
  2. Prüfen Sie nach, ob 147 nicht ebenfalls ein Produkt ist, dass eine Quadratzahl enthält, nach den Teilbarkeitsregeln erkennen Sie leicht, dass 147 durch 3 teilbar sein muss, denn 1+4+7 = 12 und 12 ist durch 3 teilbar. Wenn Sie 147 nun durch 2 teilen, bekommen Sie 49 heraus. Demnach ist die W 147 = 7 W 3.
  3. Die Zahl W 3675 = 5 W 147 = 35 W 3. Erst jetzt sind sie mit dem teilweisen Radizieren der Zahl fertig.

Dieses Schema hilft Ihnen auch, komplizierte Zahlen teilweise zu radizieren.

Teilweise radizieren bei anderen Wurzeln

  • Es gibt nicht nur Quadratwurzeln, sondern auch andere Wurzeln. So kann es eine dritte, vierte oder x-te Wurzel einer Zahl geben. Die Frage, die dahinter steht, ist einfach ausgedrückt: Welche Zahl muss man dreimal (viermal, x-mal) mit sich selbst multiplizieren, um die Zahl unter der Wurzel zu bekommen. Beispiel 3W 8 = 2 denn 23 = 8. Sie können das auch als Gleichung auffassen als 2x = 8. Wie groß ist x?
  • Bei diesen Aufgaben sollten Sie immer die Zahl in der Wurzel in Promfaktoren zerlegen und dann zu Zahlen mit Exponten zusammenfassen. Ist der Exponent durch den Grad der Wurzel teilbar, dann schreiben Sie den jeweiligen Faktor mit der durch den Grad der Wurzel geteilten Exponenten vor die Wurzel. Beispiel: 5W 1244160. Nach den Teilbarkeitsregeln erkennen Sie leicht die Teilbarkeit durch 2, 3 und 5. Prüfen Sie, wie oft die Zahl durch 2 bzw. 3 geteilt werden kann. Sie werden schnell feststellen, dass Sie die Zahl 10-mal durch 2 teilen können und 5-mal durch drei. Demnach ist 5W 1244160 = 5 W (210)(35)(5) = (210/5)(35/5) 5W 5 = 22 * 3 (5W5) = 12 5W 5.
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