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Tangentengleichung bestimmen - so geht's

Tangentengleichung bestimmen - so geht´s 3:11
Video von Bruno Franke3:11

Keine Panik vor Matheaufgaben. Mit einer verständlichen Erklärung und einem guten Beispiel lässt sich die Tangentengleichung an einer Funktion leicht bestimmen.

Was Sie benötigen:

  • Papier
  • Stift
  • evtl. Taschenrechner

So bestimmen Sie die Tangentengleichung

  • Was ist eine Tangente? Dabei handelt es sich um eine Gerade, die in einem bestimmten Punkt einer Funktion diese möglichst gut wiedergeben soll. Zu Deutsch: Die Steigung der Funktion soll identisch mit der Steigung dieser Tangentengeraden sein. In einem kleinen Abschnitt um den Punkt herum könnte man die Funktion, egal wie kompliziert diese auch ist, durch diese Tangente ersetzen. Man nennt diesen Vorgang auch Linearisierung.
  • Bei derartigen Aufgaben ist eine Funktion gegeben, beispielsweise eine Parabel f(x) = x² sowie ein Punkt, der auf dieser Parabel liegen soll, zum Beispiel P(3/9). Der y-Wert (falls er nicht gegeben ist) lässt sich leicht berechnen, wenn man x = 3 in f(x) einsetzt, also f(3) = 3² = 9.
  • Die Aufgabe: Bestimmen Sie in P die Tangentengleichung an die Parabel f(x).
  • Zunächst stellen Sie die Tangentengleichung als allgemeine Gerade auf: y = mx + b. "m" ist die Steigung der Tangente, "b" der y-Achsen-Abschnitt. Beide Größen sind noch unbekannt und müssen berechnet werden. 
  • Berechnen Sie zunächst die Steigung m: Hierzu bilden Sie die Ableitung der Parabel f'(x) = 2x. Die Ableitung kann als "Formel" gesehen werden, mit der sich Steigungen der Funktion bzw. Steigungen der Tangenten berechnen lassen.
  • Setzen Sie x = 3 (der x-Wert des Punktes!) in die Ableitung ein: f'(3) = 2 x 3 = 6. Die Steigung der Tangenten beträgt m = 6.
  • Bestimmen des y-Achsen-Abschnitts: Dafür brauchen Sie den Punkt P (3/9), der ja auf der Tangenten und zugleich auf der Parabel liegt. Also muss er die Gleichung der Tangenten mit seinen Koordinaten erfüllen. Von der Tangentengleichung wissen Sie bisher: y = 6x + b. Setzen Sie nun die Koordinaten (x = 3 und y = 9) hier ein:
  • 9 = 6 x 3 + b oder 9 = 18 + b. Hieraus folgt: b = - 9
  • Mit m = 6 und b = - 9 erhalten Sie dann die Tangentengleichung y = 6x - 9. Fertig!
  • Hinweis: Für andere Funktionen und andere Punkte auf diesen Funktionen ergeben sich logischerweise andere Tangentengleichungen. Das Verfahren ist jedoch identisch.

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