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Summe aller Zahlen von 1 bis 1000 - so einfach geht's

Die Summe aller Zahlen von 1 bis 1000 auszurechnen, würde wahrscheinlich Stunden benötigen, selbst wenn Sie einen Taschenrechner zu Hilfe nehmen würden. Sie würden zur Erleichterung sicherlich einige Zahlen zusammenfassen, wie zum Beispiel alle Hunderter, alle Zehner-Zahlen, Zwanziger-Zahlen und so weiter. Dennoch wäre der Aufwand erheblich, um diese Rechenaufgabe zu erleichtern. Ein findiger Mathematiker fand eine geniale Lösung, die es ermöglicht, mit nur einer kleinen Rechnung die gesamten Zahlen auf einen Sitz zu addieren.

Der Mathematiker Gauß wurde auf dem 10-Mark-Schein verewigt.
Der Mathematiker Gauß wurde auf dem 10-Mark-Schein verewigt.

Wie es zu der einfachen Rechnung für die Summe aller Zahlen kam

  • Der Mathematiker Carl Friedrich Gauß beschäftigte sich unter anderem mit einer Vereinfachung von komplizierten und aufwendigen Rechenoperationen. So kam er auf eine geniale und dennoch einfache Methode, lange Zahlenreihen zu addieren.
  • Damit Sie die Überlegungen und das Ergebnis des Mathematikers nachvollziehen können, nehmen Sie folgendes Beispiel:
  • Addieren Sie alle Zahlen von 1 bis 10. Das Ergebnis ist 55. Nun überlegen Sie sich, welche Zahlenpaare Sie addieren müssen, um immer dasselbe Ergebnis zu bekommen. Machen Sie sich nichts daraus, wenn Sie noch keine Idee haben, welche Zahlen das sein könnten.
  • Sie erhalten einen Tipp: 1+10 = 11. Welches Zahlenpaar ergibt auch 11? Zum Beispiel 2+9 oder 3+8. Finden Sie nun die restlichen Zahlenpaare, die 11 ergeben? Sie lauten: 4+7, 5+6. Nun sind alle Zahlen erfasst. Sie haben 5 Zahlenpaare, die 11 ergeben. Nun brauchen Sie nur noch die 11 mit 5 multiplizieren und erhalten das Ergebnis 55. Sie haben damit zunächst die niedrigste mit der höchsten Zahl addiert, die zweitniedrigste mit der zweithöchsten und so weiter.
  • Das Geniale an dieser Rechnung ist, dass Sie auf diese Weise beliebige Summen von Zahlenreihen mit natürlichen Zahlen rechnen können. Dabei brauchen Sie nur die niedrigste mit der höchste Zahl addieren und mit der Hälfte der höchsten Zahl, da Sie ja die Zahlenpaare nehmen, multiplizieren.
  • Also, wenn Sie zum Beispiel die Zahlen 1 bis 8 addieren wollen, so rechnen Sie (1+8) x 8/2 = 36. Nun überprüfen Sie das Ergebnis: 1+2+3+4+5+6+7+8= 36
  • Diese Rechnung lässt sich auch einfach als Summenformel allgemeingültig ausdrücken:
  • n = (n+1) x n/2. n ist die Anzahl der Zahlenelemente in der Zahlenformel. Bei 1000 ist n=1000
  • Obwohl bei einer ungeraden Zahlenfolge also zum Beispiel 1 bis 11 ein Zahlenelement übrig bleibt, gilt dieselbe Formel und Sie erhalten das richtige Ergebnis.

Nun können Sie die Summe aller Zahlen von 1 bis 1000 leicht rechnen.

1 bis 1000 mit der Summenformel berechnen

  1. Um die Summe aller Zahlen von 1 bis 1000 zu rechnen, nehmen also wieder die Summenformel.
  2. Die Summe aus 1 bis n = (n+1) x n/2.
  3. n ist die Anzahl der Elemente der Zahlenreihe, nämlich 1000.
  4. Setzen Sie nun die 1000 für n ein.
  5. Sie haben nun 1 bis n = (1000 + 1) x 1000/2 = 500500.

So einfach haben Sie die Summe aller Zahlen von 1 bis 100 berechnet.

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