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Strahlensatz - 3 Aufgaben mit Lösungen

Den Strahlensatz gibt es in drei Varianten, die es gestatten, Größen aus Verhältnissen zu berechnen. Hier werden drei typische Aufgaben mit Lösungen gezeigt.

Grundlage der Ähnlichkeitssätze: Sonnenstrahlen
Grundlage der Ähnlichkeitssätze: Sonnenstrahlen

Was Sie benötigen:

  • Verhältnisrechnungen
  • bzw. Gleichungen lösen
  • und etwas geometrisches Grundverständnis
Grundsituation bei den Strahlensätzen
Grundsituation bei den Strahlensätzen © Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen

Die Strahlensätze - Vorbemerkungen

  • Die drei Strahlensätze gehören in das Gebiet der Ähnlichkeit oder zentrischen Streckung von Figuren. Im Unterricht werden meist Dreiecke als Anschauungsmaterial gewählt. Dies beschränkt die Aussagen auf die Ebene, also den (einfacheren) zweidimensionalen Fall.
  • Zunächst gehen bei allen Strahlensätzen von einem festgelegten Punkt S mehrere Strahlen aus. Man nennt dies ein Strahlenbüschel. Im einfachsten Fall sind es jedoch nur zwei Strahlen.
  • Diese Strahlen werden in allen Fällen von einer Schar Parallelen geschnitten, im einfachsten Fall wieder nur von zwei Parallelen. Bild 1 zeigt diese Grundsituation, die für jeden Strahlensatz angenommen wird.
  • Mit den drei folgenden Strahlensätzen lassen sich nun drei grundlegende Aufgaben der Ähnlichkeit berechnen. Lösungen werden angegeben.
1. Strahlensatz
1. Strahlensatz © Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen

Erster Strahlensatz - Lösungen für Abschnitte

  • Der erste Strahlensatz macht Aussagen über die Länge der Strecken, die sich in der Grundsituation ergeben haben. Wie in Bild 2 seien diese Strecken mit a, b, c und d bezeichnet.
  • Es verhalten sich die Abschnitte auf den ersten Strahl wie die entsprechenden (!) auf dem zweiten Strahl. Es gilt also a/b = c/d.
  • Haben Sie drei dieser Abschnitte a = 3 cm, b = 5 cm und c = 2 cm gegeben, so können Sie die Strecke d wie folgt berechnen: 3/5 = 2/d und Sie erhalten 3d = 10 und somit d = 3 1/3 bzw. 3,33 cm.
2. Strahlensatz
2. Strahlensatz © Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen

Zweiter Strahlensatz - die Parallelen kommen ins Spiel

  • Der zweite Strahlensatz macht Aussagen über Strecken auf den Strahlen und den Parallelen. Hier heißt es aufzupassen, denn es werden die Strecken vom Punkt S aus bestimmt!
  • Die auf den Parallelen befindlichen Strecken verhalten sich wie die entsprechenden Strecken (von S aus) auf den Strahlen. Es gilt nach Bild 3 also a/e = (a+b)/f.
  • Auch mit diesem Strahlensatz lassen sich Lösungen für einzelne Strecken berechnen, wenn man drei der Strecken bereits kennt. Haben Sie beispielsweise a = 3 cm, b = 5 cm und f = 2 cm gegeben, so gilt 3/e = 8/2 und somit 3/e = 4. Sie berechnen 4e = 3 und e = 0,75 cm. Beachten Sie, dass Sie auf der rechten Seite der Formel a+b einsetzen müssen.
3. Strahlensatz
3. Strahlensatz © Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen

Dritter Strahlensatz - Aufgaben nur mit Parallelen

  • Bei diesem dritten Strahlensatz kommen mehrere Parallelen ins Spiel, oftmals sind diese sogar auf beiden Seiten des Punktes S zu finden, wie Bild 4 zeigt. Um Verwechslungen mit den beiden anderen Sätzen zu vermeiden, wurden die entsprechenden Strecken mit p, q, r und s bezeichnet.
  • Es verhalten sich die Abschnitte auf irgendeiner Parallele wie die entsprechenden Abschnitte auf einer anderen Parallelen. Beachten Sie, dass "entsprechend" in diesem Fall immer von S aus zu sehen ist, Sie also die Reihenfolge nicht beliebig wählen dürfen. Es gilt also p/q = r/s (alternativ auch p/r = q/s).
  • Aufgaben mit dem 3. Strahlensatz behandeln Sie wie die des 1. Strahlensatzes. Auch hier haben Sie wieder drei Größen gegeben und berechnen die dritte Strecke aus dem Verhältnis.
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