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Steigung ausrechnen - die Matheexpertin erklärt es für Exponentialfunktion

Wie jede andere Funktion hat auch die Exponentialfunktion eine (vom x-Wert abhängige) Steigung, die sich mithilfe der Ableitung ausrechnen lässt.

Zinseszins ist ein exponentielles Wachstum.
Zinseszins ist ein exponentielles Wachstum.

Was Sie benötigen:

  • Bleistift und Papier
  • Grundkenntnisse "Exponentialfunktion"
  • evtl. Taschenrechner

Die Ableitung der Exponentialfunktion bestimmen

  • Die meisten (in der Schule behandelten) Funktionen haben eine Steigung, die von Punkt zu Punkt variiert - außer bei linearen Funktionen (Geraden) natürlich, deren Steigung über den gesamten x-Bereich konstant ist.
  • Wenn Sie die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt ausrechnen wollen, benötigen Sie die Ableitung f'(x) dieser Funktion. Die Ableitung ist im Prinzip nichts anderes als die Steigungsfunktion, mit der Sie für jeden x-Wert die Steigung berechnen können.
  • Genauso liegt auch der Fall bei der Exponentialfunktion f(x) = ex bzw. f(x) = exp(x) (mit der bekannten Eulerschen Zahl e =2,71... als Basis). Auch hier benötigen Sie die Ableitung f'(x).
  • Eine Besonderheit dieser e-Funktion ist es jedoch, dass ihre Ableitung mit der Ausgangsfunktion identisch ist, sprich: f'(x) = ex. Die Exponentialfunktion steigt also im gleichen Maße wie die Funktion selbst, eine auch für Mathematiker durchaus bemerkenswerte Eigenschaft.
  • Die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = A * ekx, wobei A und k reelle Zahlen (und nicht Null) sind, können Sie übrigens mit der Kettenregel berechnen. Es gilt: f'(x) = A * k * ekx (positive k-Werte stehen für exponentielle Wachstumsprozesse wie Zinseszins, für negative Werte von k ergibt sich ein Zerfallsprozess wie der radioaktive Zerfall!).

Steigung in einem Punkt ausrechnen - ein Beispiel

In diesem Beispiel seien die Exponentialfunktion f(x) = ex sowie der Punkt xo = 3 gegeben. Gesucht ist die Steigung der Funktion in diesem Punkt.

  1. Die Ableitung zur Berechnung der Steigung lautet f'(x) = ex.
  2. Sie setzen den Wert xo = 3 dort ein und können für die Steigung m = f'(3) = e3 = 20,09 (TR und auf zwei Stellen hinter dem Komma gerundet) ausrechnen. 
  3. Der y-Wert zu xo = 3 ist übrigens auch 20,09 (siehe Bemerkung von oben).
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