Der Sinussatz - ein wichtiger trigonometrischer Satz.
Der Sinussatz ist ein wichtiger trigonometrischer Satz. Er stellt die Beziehung zwischen den Winkeln eines beliebigen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten dar. Doch wie kann man aus dem Sinussatz die Winkel berechnen? Hier hilft einfaches Umstellen der Gleichung.
-
- 08.02.2012 Sarina Scholl
Was Sie benötigen
Das schaffen Sie mit Links
Sinussatz - was er aussagt
- Nach dem Sinussatz ist das Verhältnis aus Winkel und der jeweiligen gegenüberliegenden Seite jeweils gleich. Interessant ist, dass diese Beziehung in einem allgemeinen Dreieck gilt, obwohl ja die Sinus-/Kosinus-/ oder Tangensfunktion immer ein rechtwinkliges Dreieck voraussetzen.
- Nach dem Sinussatz gilt also: a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) oder nach dem Umstellen auch die Verhältnisgleichung sin(α) : sin(β) : sin(γ) = a : b : c. Möchten Sie also zum Beispiel den Winkel γ berrechnen, so benötigen Sie dafür zumindest drei weitere Größen. Entweder a,c und α, oder b,c und β.
- Der Beweis des Sinussatzes verläuft sehr einfach. Sie können jedes allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilen, indem Sie für eine Seite die Höhe einzeichnen. Die Höhe ist damit eine Seite, die in beiden Teildreiecken vorkommt. Für die Höhe hc beispielsweise sind die gegenüberliegenden Winkel α und β. Nun können Sie die Höhe hc durch eine Sinusbeziehung zu den Winkeln α und β herstellen und diese Beziehungen gleichsetzen. Gehen Sie bei den anderen Höhen genauso vor und schon haben Sie den Sinussatz bewiesen.
Sinussatz nach dem Winkel umstellen
- Nach dem Sinussatz gilt a/sin(α) = b/sin(β). Möchten Sie nun den Winkel α berechnen, dann müssen Sie die Formel zunächst umstellen und durch Äquivalenzumformungen nach α auflösen. Speziell in diesem Fall benötigen Sie die Umkehrfunktion des Sinus, den Arkussinus. Es gilt: a/sin(α) = b/sin(β) <=> a/b*sin(β) = sin(α) <=> arcsin(sin(α)) = arcsin(a/b*sin(β)) <=> α = arcsin(a/b*sin(β)).
- Nun können Sie die Werte für a, b und β einsetzen und schon haben Sie den Winkel α ermittelt.
- Um den Winkel γ zu berechnen, gehen Sie, je nachdem welche anderen Größen noch gegeben sind, genauso vor. Entweder Sie stellen a/sin(α) = c/sin(γ) oder b/sin(β) = c/ sin(γ) nach γ um.
Sie sehen, es ist nicht schwer, den Sinussatz nach einem Winkel aufzulösen. Sie benötigen lediglich die obige Anleitung und schon kommen Sie schnell ans Ziel.
