Seitenmittendreieck berechnen - so geht´s

Auch diese Aufgabe lässt sich mit zwei einfachen Grundregeln bewältigen, nämlich erst einmal klären, um welchen mathematischen Gegenstand es sind handelt und dann eine (möglichst gute!) Skizze anzufertigen.

So berechnen Sie das Seitenmittendreieck

• Zunächst zeichnen Sie auf das Skizzenpapier ein möglichst allgemeines Dreieck. Dies soll also weder rechtwinklig, noch gleichschenklig oder gar gleichseitig sein.
• Ermitteln Sie nun jeweils den Mittelpunkt der drei Dreiecksseiten. Dies ist durch einfaches Ausmessen, genauer mit Zirkel möglich. Da es sich jedoch nur um eine Skizze handelt, genügt Ausmessen. Nun verbinden Sie diese drei Mittelpunkte, das Seitenmittendreieck entsteht.
• Betrachtet man das entstandene Dreieck, fällt sofort auf, dass die Seiten dieses kleineren Dreiecks nur halb so groß wie die des ursprünglichen Dreiecks sind. Tatsächlich zerfällt das ursprüngliche Dreieick bei dieser Mittenbildung in 4 ähnliche Dreiecke. Beweisen lässt sich dies, indem man die abgefallenen, restlichen Dreiecke betrachtet, deren Seiten jeweils halbiert sind.
• Nun müssen Sie klären, was an diesem Seitenmittendreieck berechnet werden soll. Dies könnten beispielsweise Umfang oder Fläche sein.
• Da die Längen der Seiten des neuen Dreiecks nur die Hälfte messen, muss der Umfang sich auch halbieren.
• Das Seitenmittendreieck hat nur 1/4 der Fläche, da sich sowohl Grundseite als auch Höhe halbieren.

"Folgen und Reihen"

• Konstruiert man in das Seitenmittendreieck jeweils entsprechend der obigen Vorschrift weitere, stets kleinere Seitenmittendreiecke, so halbiert sich deren Umfang stets: 1/2, dann 1/4, dann 1/8 etc.
• Die Summe (!) all dieser zahllosen Dreiecksumfänge ist eine geometrische Reihe (man addiert 1/2 + 1/4 + 1/8...), die einen Grenzwert hat. Dieser lässt sich nach der Summenformel für geometrische Reihen berechnen und beträgt in unserem Fall 1.