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Schnittpunkt zweier Tangenten berechnen - so wird's gemacht

Erinnern Sie sich?
Erinnern Sie sich?
Lassen Sie sich nicht verwirren, wenn es darum geht, den Schnittpunkt zweier Tangenten zu berechnen. Hier benötigen Sie nur Kenntnisse aus der Mittelstufe.

Was Sie benötigen:

  • Schnittpunkt zweier Geraden
  • bzw. Gleichungen mit zwei Unbekannten

Tangenten sind auch nur Geraden

  • Sie haben für eine gegebene Funktion zwei Tangenten berechnet und sollen nun den Schnittpunkt dieser beiden bestimmen. Auch wenn diese Aufgabe zunächst schwierig aussieht: Lassen Sie sich nichts vormachen, denn es handelt sich um nichts weiter, als den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen. 
  • Tangenten, auch wenn sie gewisse Bedingungen bzgl. der Funktion erfüllen, sind nichts weiter, als Geraden der Form y = mx + b. Hat man zwei unterschiedliche Tangenten, so liegen beide in dieser Form vor.
  • Den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen Sie, indem Sie die beiden Geraden gleichsetzen (Schnittpunkt-Bedingung) und den x-Wert des Schnittpunktes aus dieser Gleichung ausrechnen.
  • Den y-Wert des Schnittpunktes erhalten Sie, indem Sie den gewonnenen x-Wert in eine der beiden Tangentengleichungen einsetzen. Die andere Gleichung kann für Probezwecke verwendet werden.
  • Aber Achtung: Sind die beiden Tangenten parallel (gleiche Steigung), gibt es selbstredend keinen Schnittpunkt.

Schnittpunkt zweier Geraden - ein durchgerechnetes Beispiel

Die Vorgehensweise soll an einem Beispiel ausführlich gezeigt werden. Hierfür seien die beiden Tangenten (Geraden) y = 3x + 2 und y = -2x + 5 gegeben. Diese beiden Geraden sind nicht parallel, haben also im zweidimensionalen Raum einen Schnittpunkt.

  1. Setzen Sie die beiden Geraden gleich. Sie erhalten 3x + 2 = -2x + 5.
  2. Diese Gleichung müssen Sie nun lösen. Sie bringen -2x (durch Addieren) auf die linke Seite und erhalten 5x + 2 = 5. Nun bringen Sie +2 (durch Subtrahieren) auf die rechte Seite. Es folgt 5x = 3 und durch Teilen lösen Sie x = 3/5 = 0,6 als x-Wert des Schnittpunktes der beiden Tangenten.
  3. Diesen berechneten Wert setzen Sie nun in eine der beiden Tangentengleichungen ein. Es folgt y = 3x + 2 = 3*0,6 + 2 = 1,8 + 2 = 3,8. Der Schnittpunkt ist also S (0,6/3,8).
  4. Die Probe mit der anderen Tangentengleichung zeigt 3,8 = -2*0,6 + 5 = -1,2 + 5 = 3,8. Der Schnittpunkt zweier Geraden wurde also richtig berechnet.

Übrigens: Erinnert Sie die Vorgehensweise an etwas? Es handelt sich bei dem Rechenverfahren um nichts anderes als zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten x und y, das Sie in diesem Fall mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen.

helpster.de Autor:in
Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen
Dr. Hannelore Dittmar-IlgenHannelore hat Mathematik, Physik sowie Chemie und Pädagogik studiert und erklärt diese schwierigen Themenfelder schon immer gerne ihren Mitmenschen. Auch über ihre Hobbys schreibt sie leidenschaftlich gerne, das können unsere Leser in den Kategorien Essen & Trinken sowie Handarbeit entdecken. Sie ist eine unserer fleißigsten Autorinnen der ersten Stunde von HELPSTER.
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