Satz von Vieta - Mathe einfach erklärt

Der Satz von Vieta - eine Probe

• Quadratische Gleichungen der Form x² +px + q = 0 lösen Sie im Allgemeinen mit der bekannten pq-Formel (oder mithilfe der quadratischen Ergänzung). Je nach Zahlenkombi von p und q ergeben sich zwei Lösungen x₁ und x₂, eine einzige Lösung x_o oder keine Lösung.
• Der Satz von Vieta (eigentlich sind es zwei Formeln!) stellt nun einen Zusammenhang zwischen diesen berechneten Lösungen und den beiden Zahlen p und q her.
• Es gilt: x₁ + x₂ = -p sowie x₁ * x₂ = q.
• Um also Ihre Rechnung zu überprüfen, brauchen Sie nichts weiter zu tun, als die beiden Lösungen zu addieren sowie zu multiplizieren. Liegt nur eine Lösung vor, so ist diese sowohl für x₁ als auch für x₂ zu setzen (sog. Doppellösung).

Lösungen prüfen - ein durchgerechnetes Beispiel

• Die quadratische Gleichung x² - 3x - 4 = 0 hat die beiden Lösungen x₁ = 4 und x₂ = -1 (berechnet nach der pq-Formel). 


Rechenlösungen prüfen - so geht's bei Gleichungen

Können diese Rechenlösungen übrhaupt stimmen? Wenn Sie sich das öfter schon gefragt haben, sollten …

• Sie prüfen: x₁ + x₂ = 4 - 1 = 3 = -p, weil p = -3!
• Sowie: x₁ * x₂ = 4 _* (-1) = -4 = q. Folglich wurde richtig gerechnet.

Finden von Lösungen mit dem Satz von Vieta

• Wenn Sie von einer quadratischen Gleichung wissen, dass diese ganzzahlige Lösungen hat, dann können Sie mit dem Satz des Vieta diese Lösungen (durch geschicktes Probieren) finden. Hier kann man mit der Zeit sogar einige Übung bekommen.
• Sollen zum Beispiel zu der quadratischen Gleichung x² - 5x + 6 = 0 die Lösungen gefunden werden, zerlegen Sie zunächst q = 6 in ganzzahlige Faktoren, also 6 = 1 x 6 bzw. 6 = 2 x 3 sowie deren negative Gegenzahlen (-1, -6, -2 ,-3). Alle Zerlegungen kommen zunächst (!) Lösung infrage.
• Jedoch nur x₁ = 2 und x₂ = 3 sind in diesem Fall richtig, denn nur hier gilt x₁ + x₂ = 2 + 3 = 5 = -p!
• Besonders einfach ist das Verfahren, wenn q eine Primzahl ist, denn dann gibt es nur die Zerlegung 1 x q bzw. (-1) x (-q).