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Sattelpunkt berechnen - so klappt's

Sattelpunkt berechnen - so klappt's2:41
Video von Galina Schlundt2:41

Ein Thema aus der Mathematik: Ein Sattelpunkt tritt oftmals in einer Kurvendiskussion auf, und zwar dann, wenn an dieser Stelle zwar zunächst ein Extremwert vermutet wird. Aus Kriterien lässt sich ein Sattelpunkt leicht berechnen.

Was Sie benötigen:

  • Papier
  • Bleistift
  • evtl. Taschenrechner

So errechnen Sie den Sattelpunkt

Voraussetzung für das Berechnen eines Sattelpunktes ist es, dass Sie mit der Ableitung einer Funktion, speziell ganzrationaler Funktionen (Polynome), vertraut sind und einen allgemeinen Überblick darüber haben, wie die erste und die zweite Ableitung in einer Kurvendiskussion angewendet werden.

  1. Zunächst einmal könnte man einen Sattelpunkt als Spezialfall eines Extremwertes deuten. Bei normalen (lokalen bzw. relativen) Extremwerten gibt es in der Nähe der Funktion nur y-Werte, die darunter liegen (Hochpunkt) bzw. y-Werte, die darüber liegen (Tiefpunkt). 
  2. Charakteristisch für solche Extremwerte ist es, dass dort eine waagrechte Tangente vorliegt (erste Ableitung = Null setzen) und die zweite Ableitung, die ja die Krümmung der Kurve wiedergibt, dort eine Linkskurve (zweite Ableitung größer Null) bzw. eine Rechtskurve (zweite Ableitung kleiner Null) ist.
  3. Beim Sattelpunkt liegen diese beiden Dinge praktisch zusammen vor: Auch er hat eine waagrechte Tangente, was zunächst beim Berechnen auf einen Extremwert hinweist. Allerdings verändert sich am Sattelpunkt die Krümmung, entweder von rechts nach links oder von links nach rechts. Dementsprechend hat dort die erste Ableitung ein Vorzeichenwechsel und die zweite Ableitung ist Null (keine Krümmung am Sattelpunkt).
  4. Aus diesen Überlegungen ergeben sich Kriterien für die Berechnung eines Sattelpunktes: Zunächst berechnen Sie die (möglichen) Extremstellen. Dann überprüfen Sie mit der zweiten Ableitung, ob sich dort ein Minimum bzw. ein Maximum befindet oder ein Sattelpunkt.
  5. Eine interessante Deutung gibt es noch für einen Sattelpunkt: Viele nennen ihn einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente, was durchaus zutrifft. Diese Formulierung benötigt man oft, wenn man aus verschiedenen Angaben ein Polynom bestimmen soll.

Beispiel zum Berechnen beim Polynom

Als Beispiel sei die ganzrationale Funktion f(x) = x³ gewählt, die bekannte Wendeparabel dritter Ordnung:

  1. Berechnen Sie zunächst die Ableitungen dieser Funktion: f'(x) = 3 x² sowie f''(x) = 6 x.
  2. Nullsetzen der ersten Ableitung 3 x² = 0 liefert ein mögliches (!) Extremum an der Stelle x = 0.
  3. Überprüfen Sie dieses Extremums mit der zweiten Ableitung f''(x): f''(0) = 0, es liegt dort also ein Sattelpunkt bzw. ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente vor. Zur Übung sollten Sie den Graphen der Funktion einmal zeichnen, um einen Eindruck davon zu gewinnen, wie ein Sattelpunkt aussieht.

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