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Quadratisch ergänzen - so lösen Sie ein Binom

Das quadratische Ergänzen ist ein zentrales Thema in der Mittelstufe am Gymnasium. Es wird im Rahmen der binomischen Formeln und auch bei der Scheitelpunktform der Parabel behandelt.

Keine Angst vor Mathematik!
Keine Angst vor Mathematik!

Was eine quadratische Ergänzung ist

  • Beim quadratischen Ergänzen bringen Sie durch mathematische Umformung einen quadratischen Ausdruck der Form ax2+bx+c auf die Form (x+d)2+e.
  • Wird z. B. eine quadratische Funktion, also eine Parabel, untersucht, so lässt sich an der Form f(x)=(x+d)2+e sofort der Scheitel ablesen. Der Scheitel hat dann die Koordinaten S(-d|e).
  • Auch bei Gleichungen kann dieser Umformungsschritt sinnvoll sein, um schneller auf die Lösung zu kommen.

Durchführung einer quadratischen Ergänzung

Um eine quadratische Ergänzung durchzuführen, müssen Ihnen die erste und die zweite binomische Formel geläufig sein.

  1. Die erste binomische Formel lautet: (a+b)2=a2+2ab+b2
  2. Die zweite binomische Formel lautet: (a-b)2=a2-2ab+b2
  3. Schauen wir uns nun folgendes Beispiel an: 4x2+5x+3 liegt in der Form ax2+bx+c vor und soll mittels quadratischer Ergänzung auf die Form (x+d)2+e gebracht werden.
  4. Im ersten Schritt müssen Sie erkennen, dass hier ein Fall der ersten binomischen Formel vorliegt. Dies erkennen Sie am positiven Vorzeichen bei 5x. Dieses 5x entspricht dem Mischterm 2ab aus der binomischen Formel.
  5. Das 4x2aus unserem Beispiel entspricht nun dem a2 in der binomischen Formel. Also ist a=2x.
  6. Nun wissen wir, dass 5x=2ab ist und a haben wir mit a=2x bereits bestimmt. Es gilt also 5x=2(2x)b <=> 5x=4xb <=> b=5/4.
  7. Damit ist unser b2=25/16. Nun kommt der eigentliche Teil der quadratischen Ergänzung. Wir fügen unserem Beispiel durch einen mathematischen Trick einmal +25/16 und einmal -25/16 hinzu. So haben wir in der Summe nichts geändert. Dies führt auf die folgende Form:
  8. 4x2+5x+3+(25/16-25/16)=(2x)2+2(2x)5/4+(5/4)2+(3-25/16)
  9. Sie erkennen nun schon die Form der ersten binomischen Formel. Im nächsten Schritt gelangen Sie durch weitere Vereinfachung und Zusammenfassen schließlich zum Endergebnis.
  10. 4x2+5x+3=(2x+5/4)2+23/16 und das quadratische Ergänzen ist abgeschlossen.

Mögliche Schwierigkeiten beim quadratischen Ergänzen

  • Machen Sie sich unbedingt immer zu Beginn klar, um welchen Typ von binomischer Formel es sich handelt.
  • Es ist auch möglich, dass der quadratische Term von zwei Variablen abhängt, wie z. B. bei 9x2+9xy+4y2. Im Prinzip erfolgt dann die quadratische Ergänzung genauso, wie oben beschrieben. Allerdings wird dann eben das b von y abhängen und auch der Restterm, nach der quadratischen Klammer, eine Abhängigkeit von y besitzen. In diesem Beispiel sollten Sie durch Anwendung des obigen Schemas auf folgendes Ergebnis kommen: 9x2+9xy+4y2=(3x+1,5y)2+1,75y2.

Wie Sie sehen, brauchen Sie keine Angst vor dem quadratischen Ergänzen haben. Befolgen Sie die Anweisungen genau und Schritt für Schritt, dann werden Sie selbst schwierige Umformungen zügig und fehlerfrei durchführen können.

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