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Primzahlen erkennen – so funktioniert das Sieb des Eratosthenes

Wer gerne mit Zahlen umgeht, wird auf Anhieb wissen, welche der zur Verfügung stehenden Zahlen Primzahlen sind und welche nicht. Doch alle diejenigen, die sich weniger zu den Mathe-Begeisterten zählen, bekommen spätestens dann Probleme, wenn es z. B. in der Schule heißt, dass die Primzahlen immer ungerade Zahlen sind. Warum ist dann z. B. 33 keine Primzahl und we kann man Primzahlen erkennen? Der griechische Mathematiker Eratosthenes (um 275 bis 194 vor Christi) fand eine Möglichkeit, die Primzahlen aus den natürlichen Zahlen heraus zu filtern.

Ist dies eine Primzahl oder nicht?
Ist dies eine Primzahl oder nicht?

Was Sie benötigen:

  • Zettel
  • Bleistift

Primzahlen befinden sich unter den natürlichen Zahlen

  • Erklärungen zu Primzahlen folgen oft Worte, wie:  "natürliche Zahlen, ungerade Zahlen, gerade Zahlen, Menge usw". Für Nicht-Mathematiker ist es schwer, so viele Bedeutungen auseinader zu halten. Ratsam ist es, wenn Sie sich erst ein paar Gedanken zu Zahlen machen.
  • Natürliche Zahlen sind alle positiven Zahlen ab "1", also 1, 2, 3, 4 usw. Die "0" zählt nicht dazu, weil nur natürliche Zahlen durch addieren und multiplizieren einen mathematischen Aufbau ergeben. Z.B.: 3 + 4 = 7, 3 x 4 = 12. Die Mathematik differenziert zwischen "positiven ganzen Zahlen" (1- 2- 3) und negativen (-1, -2, -3).
  • Die 0 gibt es erst seit dem 16. Jh.. Mathematiker begründen die Zahlen nach John von Neumann mit Mengen. D. h. "1" ist eine Menge, die die leere Menge 0 füllt. Demnach können natürlichen Zahlen nur mit der Menge 1 beginnen. Die leere Menge "0" bleibt neutrales Startelement.
  • Um die Primzahlen erkennen zu können, ist es wichtig, zu wissen, dass Sie sich unter den natürlichen Zahlen von 1 bis unendlich befinden, die sich in ungerade und gerade Zahlen unterteilen. Gerade Zahlen werden Sie leicht erkennen können, denn sie lassen sich, ohne entstehende Kommazahl durch 2 teilen. Z. B. 4 : 2 = 2. Also sind "4" und "2" gerade Zahlen. Zwar lässt sich die "5" durch "2" teilen, jedoch entsteht eine Kommazahl. Also ist "5" eine ungerade Zahl.
  • Primzahlen finden Sie unter den ungraden Zahlen. Um Primzahlen zu erkennen, benötigen Sie folgenden Lehrsatz: "Primzahlen sind nur durch 1 und sich selber teilbar und bilden kein Vielfaches durch andere Zahlen." D. h. die Zahl 1 ist auszuklammern, denn 1: 1 bleibt stets 1. Es wird also mit der Zahl 2 begonnen: 2 : 2 = 1. Da sich die Zwei durch sich selber und auch durch 1 teilen lässt, ist die "Zwei" eine Prim- (erste) zahl.
  • Gehen Sie die Zahlenreihe durch: 3 : 3 = 1, 3 : 1 = 3. Also auch 3 ist eine Primzahl. Nun erproben Sie die "Vier". 4: 4 = 1, 4:1 = 4. Es scheint, als würde die Vier eine Primzahl sein - doch dann wären alle Zahlen Primzahlen. Bedenken Sie, was versäumt wurde: Der Lehrsatz besteht aus drei Komponenten: Primzahlen lassen sich durch 1 teilen. Primzahlen lassen sich durch sich selber teilen. Primzahlen bilden kein Vielfaches!!
  • Schauen Sie sich die Vier noch einmal an. Die 4 ist ein Vielfaches von 2. Da die 2 jedoch bereits die "Erste (Prim) Zahl" ist, muss die Vier gestrichen werden. Wie sieht es also mit der 5 aus? Die 5 lässt sich, wie alle Zahlen, durch sich selber und 1 teilen. Ist die 5 aber auch ein Vielfaches von: 2 oder 3 ? Rechnen Sie: 5 : 2 = 2,5, 5: 3 = 1,6. D. h. die 5 ist kein Vielfaches von 2 oder 3. Außerdem lässt sie sich durch 1 und sich selber teilen. Also gehört sie zu den Primzahlen.
  • Es gibt nicht nur "Die" Primzahl, sondern ganz viele. Primzahlen zu erkennen, ist ein mathematisches Spiel. Gehen Sie die nächsten Zahlen durch: 6 lässt sich durch "1" und sich selber teilen - aber auch durch 2. Damit ist die 6 ein Vielfaches von 2. Da 2 aber schon "prim" ist, steht die "4" an zweiter und die "6" an dritter Stelle. Wie sieht es mit der 7 aus? Die 7 ist weder Vielfaches von 2, noch von 3, noch von 5. Also ist die 7 eine neue erste Zahl "Primzahl".
  • Auch die 9 oder 10 können eine Primzahlen sein, denn die 9 ist ein Vielfaches von 3 (3 x 3 = 9 ) und die 10 ist ein Vielfaches von 2 und 5 ( 2x 5 = 10 , 5x 2 = 10 ). Wie steht es z. B. um die Zahl 101? Teilen Sie die 101 durch die inzwischen bekannten Primzahlen 2, 3, 5 und 7. Es entstehen immer Kommazahlen. Also steckt keine der bekannten Primzahlen als Vielfaches in der 101. Also ist 101 eine Primzahl.

So erkennen Sie Primzahlen

Teilen Sie eine Zahl durch sich selbst, durch 1 und die inzwischen bekannten Primzahlen. Bleibt bei der Teilung durch "1" die Zahl erhalten (5 : 1 = 5 ) oder ergibt es eine "1" (5: 5 = 1 ), teilen Sie sie zur Prüfung noch durch die bekannten Primzahlen 2- 3- 5- 7.  Sie haben auch die Möglichkeit einer schematischen Aufstellung:

  1. Schreiben Sie alle Zahlen von 1 bis 10 auf. Darunter die Zahlen 11 - 20, darunter folgen dann 21 - 30 und so weiter,  bis Sie bei 100 oder einer höheren Zahl angelangt sind.
  2. Nehmen Sie die Gesetzmäßigkeit, dass 2 eine Primzahl ist, und kreuzen Sie die nachfolgende "Zweierreihe" an: 2 bleibt stehen. Streichen Sie 4- 6- 8- 10- 12- usw.. Damit haben Sie viele natürliche Zahlen ausgeschlossen. Alle Zahlen, die die "2" enthalten, stehen nicht mehr an erster Stelle.
  3. Nun kommt die "3" an die Reihe. Sie lässt sich durch 1 und sich selber teilen. Also streichen Sie nun alle nach der 3 folgenden "Dreierzahlen" ab: 6- 9- 12- usw. So können Sie die nächsten natürlichen Zahlen, die keine Primzahlen sind, filtern.
  4. Prüfen Sie sich die 4. Die 4 ist bereits gestrichen, also keine Primzahl. Es geht bei der 5 weiter: Die "5" bleibt als erste "Eins- und Selbstteilbare" Zahl stehen. Ihre Folgezahlen jedoch nicht: Streichen Sie: 10- 15- 20- 25- 30- 35- 40- 45- 50- 55- 60 usw...

Das gleiche nehmen Sie mit der 7 vor ( 14- 21- 28- 35 usw.) Wenn Sie so vorgehen, haben Sie das Sieb des Eratosthenes aufgeschrieben und erkennen die Primzahlen mit einem Blick.

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