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Primfaktorzerlegung - eine Erklärung aus der Mathematik

Primfaktorzerlegung - wieder so ein Begriff aus der Mathematik, der Eltern und Schülern gleichermaßen Angst und Schrecken einjagen kann. Hier die Erklärung, die wirklich einfach ist.

13 ist eine bekannte Primzahl.
13 ist eine bekannte Primzahl. © Karin_Jung / Pixelio

Was Sie benötigen:

  • eigentlich nur Zeit und Interesse
  • und gute Einmaleins-Kenntnisse wären von Vorteil

Primfaktorzerlegung - das verstehen Mathematiker darunter

Den meisten Schülern (und ihren oft genervten Eltern) begegnet dieser Begriff zu Beginn der Mittelstufe, und zwar im Zusammenhang mit den Primzahlen, die vielleicht noch einer kurzen Erklärung bedürfen:

  • Eine wichtige Erkenntnis im Zusammenhang mit den normalen natürlichen Zahlen, die Sie vom Abzählen kennen, ist, dass es Zahlen gibt, die Teiler besitzen und Zahlen, die außer der "1" und sich selbst keine Teiler haben. Letztere nennt man Primzahlen. Beispiele sind "7" oder auch "13". Wider Erwarten ist "51" keine Primzahl, da 51 durch 3 und durch 17 teilbar ist. Die kleinste Primzahl ist übrigens die "2", gleichzeitig die einzige gerade Primzahl.
  • Schon die Mathematiker im alten Griechenland machten nun die Entdeckung, dass jede (!) natürliche Zahl entweder eine Primzahl ist oder sich in Primzahlen zerlegen lässt, egal, wie groß die Zahl auch sein mag.
  • Mit anderen Worten: Hat man eine natürliche Zahl, so lassen sich immer (nicht notwendig nur unterschiedliche) Primzahlen finden, aus denen diese Zahl besteht. Eine solche Multiplikationszerlegung wird Primfaktorzerlegung genannt, besteht die Zahl doch dann aus lauter Faktoren, die Primzahlen sind.
  • Diese Zerlegung ist eindeutig, das heißt, es gibt zu einer gegebenen Zahl keine weitere Primfaktorzerlegung.
  • Darüber hinaus lässt sich jede Zahl auch additiv in zwei Primzahlen zerlegen. Dies ist allerdings nicht eindeutig. 

Übrigens: Die Primfaktorzerlegung hat eine (ungeahnte) Anwendung gefunden, nämlich bei der Verschlüsselung von Botschaften (Kryptologie genannt).

Primfaktorzerlegung - die Erklärung mit Beispielen "füllen"

Die obige Erklärung soll an einigen Beispielen veranschaulicht werden:

  • Die Zahl 61 ist selbst eine Primzahl und hat im o. g. Sinne keine (weitere) Zerlegung.
  • Die Zahl 62 ist keine Primzahl, sondern (zunächst) durch "2" teilbar. Sie erhalten 62 = 2 x 31. In diesem Fall haben Sie bereits die Primzahlzerlegung von 62 gefunden, denn sowohl "2" als auch "31" sind beides Primzahlen. Fertig!
  • Für die Zahl 63 finden Sie 63 = 7 x 9 = 7 x 3 x 3 als Primfaktorzerlegung. Dieses Beispiel zeigt, dass nach einem ersten Faktorisieren sich meist weitere Teiler ergeben, die Sie sukzessive, also nach und nach, finden können. Und: Einige der Primfaktoren (hier die "3") können durchaus öfter auftreten.
  • Die Zahl 64 sei hier als extremes Beispiel genannt: 64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26 als abkürzende Potenzschreibweise für diese Primfaktorzerlegung. Selbstredend wird die Primfaktorzerlegung länger und komplizierter, je größer die betrachtete Zahl ist. 
  • Die Zahl 15 lässt sich auch additiv zerlegen in 15 = 13 + 2 (beides Primzahlen). Eine weitere Zerlegung gibt es hier allerdings nicht. Bei der Zahl 32 = 3 + 29 ist die Zerlegung jedoch nicht eindeutig, denn es gilt auch 32 = 13 + 19!
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