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Potenzielles Wachstum fachmännisch erklärt

In der Mathematik werden manche Funktionen oder Grafen als potenzielles Wachstum beschrieben. Hier wird die Entwicklung durch eine Potenzfunktion ausgedrückt. Was steckt hinter dem Begriff und wie kann man diese Art des Wachstums erklären?

Ganz schön verzwickte Rechnung.
Ganz schön verzwickte Rechnung. © Paul_Golla / Pixelio

Potenzielles Wachstum wird über die Funktion f (x) = xn ausgedrückt. Das Potenzieren meint dabei das wiederholte Multiplizieren einer Zahl. Wenn Sie etwa 5 hoch 3 berechnen, dann kann dies auch als 5 zur dritten Potenz ausgesprochen werden. Häufig ist die Schreibweise 53 üblich. Die 5 ist hierbei die Grundzahl oder Basis und die 3 der Exponent. Demnach wird die 5 dreimal mit sich selbst multipliziert, d.h. 53 = 5 x 5 x 5 = 125.

Wie das Wachstum praktisch dargestellt werden kann

  • Als Exponenten kommen alle natürlichen Zahlen infrage. Wenn der Exponent 0 beträgt, so resultiert als Ergebnis immer 1 (z.B. 50 = 1). Ist der Exponent hingegen negativ, dann kann stattdessen auch die gleiche Rechnung mit positivem Exponenten durchgeführt werden und dieses dann als Bruch mit 1 dargestellt werden - d.h. beispielsweise 5 hoch -3 (oder 5-3) = 1 / 53.
  • Wenn Sie potenzielles Wachstum als Grafik darstellen, dann wäre x (also die waagerechte Achse) die Grundzahl und y (also die senkrechte Achse) das Ergebnis der Potenzfunktion. Bei dem häufig vorkommenden Sonderfall des Exponenten 2 (quadrieren) können Sie in der grafischen Darstellung eine Wachstumsfunktion erkennen, die mit Höhe der Grundzahl immer schneller ansteigt.
  • Ist nun der Exponent für potenzielles Wachstum noch höher, dann entsteht eine noch steilere Funktion. Je höher der Exponent, desto größer ist der Unterschied zwischen der eigentlichen Grundzahl und dem Ergebnis der Funktion.
  • Wenn die Basis kleiner als Null ist, dann ergibt sich durch das Quadrieren eine positive Zahl, da beispielsweise -5 x -5 genauso 25 ergibt wie 5 x 5. An der y-Achse erreicht die Exponentialfunktion also den geringsten Wert und wird gewissermaßen an dieser senkrechten Achse gespiegelt.
  • Bei Exponenten, die aus ungeraden Zahlen bestehen (3,5,7 usw.), ergibt sich dann ein Funktionsverlauf, der im Bereich negativer Zahlen beginnt, dann bei y = 0 die x-Achse überquert und dann in den Bereich positiver Zahlen reicht.

Beispiel für potenzielles Wachstum

  • Ein Beispiel für potenzielles Wachstum ist die Entwicklung von Populationen, etwa Tierbeständen. Wenn etwa jedes Tier zwei Nachkommen hat, dann setzt sich das Wachstum fort, denn die beiden Nachkommen haben dann jeweils wieder zwei Kindern usw.
  • Ein Muttertier hat demnach zwei Nachkommen (dann sind es drei Tiere, d.h. Mutter und zwei Kinder), wenn diese beiden Nachkommen jeweils zwei Kinder gebären, dann entstehen schon 7 Tiere (die Großmutter, deren beide Kinder und die vier Enkel). Der Verlauf der Populationsentwicklung über die Zeit lässt sich dann als potenzielles Wachstum darstellen.
  • Gern wird auch die Zellteilung als Beispiel herangezogen. Denn jede Zelle teilt sich nach einer gewissen Zeit und die dadurch neu gebildeten Zellen setzen diesen Anstieg fort.
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