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Pentagon berechnen - so geht's für Seiten und Winkel

Pentagon ist der griechische Ausdrück für ein Fünfeck, also eine ebene Figur mit fünf Ecken und fünf Seiten. Die Seiten und Winkel solcher Fünfecke lassen sich unter bestimmten Bedingungen berechnen.

Im Fußball ist das Pentagon enthalten.
Im Fußball ist das Pentagon enthalten. © Rainer Sturm / Pixelio

Seiten und Winkel im regelmäßigen Pentagon - so geht's

  • Die meisten stellen sich unter einem Pentagon ein regelmäßiges Fünfeck vor, das heißt alle Seiten und Winkel (Innenwinkel) in dieser fünfeckigen, ebenen Figur sind gleichgroß. 
  • Derartige Fünfecke finden Sie beispielsweise auf Fußbällen, die aus einzelnen Vielecken zusammengesetzt sind. Auch in der Kunst (Stichwort: Pentagramm) sowie bei einigen Früchten tritt das Pentagon auf (Okra-Schote). Allerdings lassen sich mit Fünfecken Flächen nicht abdecken, sprich parkettieren.
  • Die (gleichgroßen) Innenwinkel eines regelmäßigen Pentagons können Sie berechnen, denn die Winkelsumme im Fünfeck beträgt 540° (Hinweis dazu: das Fünfeck können Sie in drei Dreiecke zu je 180° zerlegen). Somit beträgt jeder der fünf Innenwinkel genau 108°.
  • Am leichtesten können Sie ein regelmäßiges Fünfeck entwerfen, indem Sie zunächst einen Kreis zeichnen. Vom Mittelpunkt aus tragen Sie dann den Radius fünfmal in einem Abstand von je 72° ab und erreichen so die Eckpunkte des Fünfecks.
  • Die Seitenlänge dieses so konstruierten Fünfecks beträgt a = 2r cos 54°. Hier tritt der halbe Innenwinkel (108°) auf; die Formel ergibt sich aus einem halben Innendreieck. Hat der Kreis einen Radius r = 5 cm, errechnen Sie für die Fünfeckseite a = 5,88 cm (gerundet auf zwei Stellen hinter dem Komma).

Allgemeine Fünfecke berechnen - Hinweise

  • Leider sind die Berechnungen in einem allgemeinen Fünfeck, das bis zu fünf unterschiedlich lange Seiten und damit bis zu fünf unterschiedliche Innenwinkel haben kann, nicht so einfach wie beim regelmäßigen Pentagon zu bewältigen.
  • Aber es gibt Hinweise, die weiterhelfen.
  • Zunächst einmal beträgt auch hier die Winkelsumme 540°. Aus vier Winkeln können Sie so den fünften und letzten Winkel berechnen.
  • Auch hilft in diesem allgemeinen Fall oft eine Zerlegung in drei Dreiecke. Diese Zerlegung hat den Vorteil, dass Sie in den Dreiecken mit Sinus- und Cosinussatz Winkel und Seiten relativ komfortabel berechnen können.
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