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n-Eck - so berechnen Sie den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks

Zusammenhänge beim n-Eck
Zusammenhänge beim n-Eck
Der Flächeninhalt eines jeden regelmäßigen Vielecks kann ganz einfach berechnet werden, wenn Sie dieses mit einem Umkreis umgeben und in gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Keine Angst, das klingt komplizierter, als es ist.

Wesentliche Zusammenhänge beim regelmäßigen n-Eck

  1. Stellen Sie sich einen Kreis vor, in den ein beliebiges n-Eck so gezeichnet wurde, dass der Kreis ein Umkreis der Figur ist (siehe Skizze).
  2. Verbinden Sie nun jeden Eckpunkt mit dem Mittelpunkt des Umkreises. Sie erhalten n-Dreiecke.
  3. Jedes der Dreiecke ist ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln r (Radius des Kreises) und der Basis a (Länge einer Seite des n-Ecks).
  4. Der Winkel an der Spitze des Dreiecks ist der n-te Teil von 360°, denn der Vollkreis wird durch die Schenkel in n-Teile geteilt. Der Winkel ist also Gamma = 360°/n.
  5. Da die Winkelsumme im Dreieck 180° ist und die beiden Basiswinkel gleich groß sind, gilt für diese Alpha = (180° - 360°/n)/2 = 90°-180°/n.
  6. Die Höhe teilt ein gleichschenkliges Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten h und a/2 und der Hypotenuse r.  h ist Ankathete und a/2 Gegenkathete zu Gamma/2=180°/n. Der Tangens Gamma/2 ist das Verhältnis von Gegenkathete a/2 zu Ankathete h. Also gilt: tan (180°/n) = (a/2)/h => h = a/(2 tan(180°/n))

Mit diesen Größen können Sie nun den Flächeninhalt eines Dreiecks und also auch des n-Ecks bestimmen.

So berechnen Sie den Flächeninhalt

Die Fläche des n-Ecks ist das n-fache der Fläche eines Dreiecks. Es gilt An-Eck= n ADreieck.

  1. Die Fläche des Dreiecks ist ADreieck= (1/2) a h = (1/2)*a*a/(2tan(180°/n)) = a2/(4tan(180°/n)).
  2. Damit ist der Flächeninhalt eines n-Ecks An-Eck = n a2/4 tan (180°/n).

Angenommen n ist 4, das n_eck ist also ein Quadrat, dann gilt AQuadrat = 4 a2/ (4 tan (180/4) = a2/ tan 45° = a2, denn der Tangens von 45° ist 1. An diesem Beispiel sehen Sie, dass die Formel auch bei einfachen Figuren angewendet werden kann.

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