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Monotonie berechnen – so untersuchen Sie Eigenschaften einer Funktion

Monotonie berechnen – so untersuchen Sie Eigenschaften einer Funktion3:51
Video von Galina Schlundt3:51

Die Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion. Sie wird in der Oberstufe des Gymnasiums behandelt und lässt sich mit Hilfe der Ableitungsfunktion berechnen.

Was Sie benötigen:

  • Ableitungsregeln
  • Mathematisches Verständnis
  • Stift
  • Papier

Grundlegende Überlegungen zum Monotonieverhalten

  • Möchten Sie die Monotonie einer Funktion berechnen, so müssen Sie zunächst deren Ableitung bestimmen. Hierfür benötigen Sie je nach Funktionstyp möglicherweise die Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel. Diese einfachen Ableitungsregeln finden Sie in jeder gängigen Formelsammlung.
  • Üblicherweise unterteilt man die Funktion in einzelne Intervalle und trifft dann eine Aussage, ob die Funktion im betrachteten Intervall monoton steigend oder fallend ist.
  • Demzufolge müssen Sie zunächst sämtliche Extremstellen der Funktion berechnen, da sich das Monotonieverhalten an diesen Stellen ändert.
  • Haben Sie alle Extremstellen ermittelt, so betrachten Sie jeweils die Intervalle zwischen den einzelnen Hoch- bzw. Tiefpunkten.

So können Sie die Monotonie berechnen

Nachdem Sie die Extremstellen der Funktion berechnet haben und die Funktion in die oben beschriebenen Intervalle unterteilt haben, müssen Sie nun die Ableitung f' der Funktion bilden. Für die Monotonie der Funktion im betrachteten Intervall gilt dann:

  • Es gilt f'(x)>0, die Funktion ist streng monoton wachsend.
  • Es gilt f'(x)>=0, die Funktion ist monoton wachsend.
  • Es gilt f'(x)<0, die Funktion ist streng monoton fallend.
  • Es gilt f'(x)<=0, die Funktion ist monoton fallend.

Berechnen Sie das Monotonieverhalten nun auch für die anderen Intervalle.

Monotonie berechnen - ein einfaches Beispiel

Betrachten wir die Funktion der Normalparabel mit f(x)=x2.

  • Die Funktion besitzt nur eine Extremstelle, nämlich den Tiefpunkt T(0|0). 
  • Wir betrachten daher die Intervalle I1=]-∞,0] und I2=]0,∞[
  • Die Ableitung der Funktion ist f'(x)=2x
  • Also ist f'(x)<=0 für x aus I1 und f damit monoton fallend in diesem Intervall.
  • Es ist f'(x)>0 für x aus I2 und f damit streng monoton wachsend in diesem Intervall.
  • Man erkennt jeweils, dass die Monotonie zu einer strengen Monotonie wird, wenn Sie die Intervallgrenzen, also hier die 0, weglassen.

Sollten Sie die obige Anleitung für Ihre Problemstellungen verwenden, können Sie sicher sein, Ihre Aufgaben sicher und fehlerfrei zu lösen.

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