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Matrizen potenzieren - so geht's

Das Potenzieren von Matrizen wird in der Mathematik auch als Matrixpotenz bezeichnet. Dabei handelt es sich um eine Multiplikation, die mehrfach durchgeführt wird. Sie berechnen derartige Aufgaben im Abitur oder im Studium der Mathematik.

Das Potenzieren von Matrizen erlernen Sie im Abitur oder an der Universität.
Das Potenzieren von Matrizen erlernen Sie im Abitur oder an der Universität.

Matrizen sind Rechenaufgaben aus dem Bereich der linearen Algebra. Voraussetzung für die Berechnung einer solchen Aufgabe ist es, dass mindestens zwei Matrizen vorliegen. Dabei muss die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix sein. Als Ergebnis errechnen Sie eine neue Matrix. Im Gegensatz zur Mulitplikation natürlicher Zahlen dürfen Sie die Faktoren nicht vertauschen. Die Matrizenrechnung benötigen Sie zur Lösung von linearen Gleichungssystemen oder zur Berechnung von Eigenwerten. Die Aufgaben lösen Sie in der Schule in den Leistungskursen, wenn Sie Abitur machen. Im täglichen Leben werden Sie mit den Berechnungen nicht konfrontiert. Sie kommen jedoch nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Physik, in der Informatik und in ökonomischen Berechnungen vor.

Mit Matrizen rechnen Sie in der linearen Algebra

Das Lösen der Matrizenrechnung wird in der so genannten Matrix durchgeführt. Dabei handelt es sich um eine Anordnung von Zahlen in einer rechteckigen Tabelle. In der Regel sind dies Zahlen. Mitunter erfolgt aber auch eine Berechnung von Variablen.

  • Auf die einzelnen Werte finden die Rechenregeln der Mathematik Anwendung. Sie können die Aufgaben lösen, in dem Sie eine Addition oder eine Multiplikation durchführen. Auch die Berechnung von Potenzen ist möglich.
  • Für Matrizen gibt es, wie für die klassische Berechnung auch, verschiedene Potenzgesetze. Dabei geht man davon aus, dass Sie eine quadratische Matrix mit sich selbst multiplizieren. 

Negative und nichtnegative Potenzen

​In der Matrix unterscheidet man negative und nichtnegative Potenzen

  • Eine nichtnegative Potenz wird folgendermaßen definiert: An = A * A * ... A. Multiplizieren Sie A dabei n-Mal, so, wie es in der Aufgabe vorgegeben ist. n ist eine natürliche Zahl. 
  • Weitere Definitionen einer nichtnegativen Potenz sind, dass A1 gleich A ist und das A0 gleich EK ist. Dabei entspricht das E mit tiefgestelltem K der Einheitsmatrix k x k.
  • In einer quadratischen Matrix, die als invertierbar gilt, ist es möglich, negative Potenzen zu definieren. Dazu wird die Formel A−n = (A − 1)n definiert. 

Sie können in der Matrix potenzieren

Für das Potenzieren von Matrizen sind verschiedene Formeln anwendbar.

  1. Sie können von Potenzen ein Produkt definieren und dieses zusammenrechnen. Dazu verwenden Sie die Formel AnA= An+m.
  2. Ist die Matrix invertierbar, findet die Formel AnA−m = An−m Anwendung. Alternativ können Sie folgende Schreibweise anwenden: (An)m = An⋅m 

Um Matrizen effizient potenzieren zu können, ist die Anwendung der binären Exponentiation ratsam. Deshalb sollten Sie beachten, dass die Elemente innerhalb der Matrix in einem Ring liegen müssen, wenn es sich um einen nichtnegativen Exponenten handelt. Ist der Exponent hingegen negativ, ist es wichtig, dass alle Elemente in einem Körper der Matrix liegen.

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