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Nullstellen berechnen durch Ausklammern - so wird's gemacht

Nullstellen berechnen durch Ausklammern - so wird's gemacht1:10
Video von Be El1:10

Bei einigen Polynomen lassen sich die Nullstellen durch Ausklammern relativ einfach berechnen. Hier wird gezeigt, wann dies möglich ist (und wie es gemacht wird).

Was Sie benötigen:

  • Zeit
  • sowie Grundlagen "Funktionen"

Nullstellen berechnen - was müssen Sie da tun?

  • Wenn es um den Begriff "Nullstellen" geht, handelt es sich immer um eine Berechnung, die mit Funktionen zu tun hat.
  • Die Nullstellen einer Funktion f(x) sind genau die Stellen auf der x-Achse, an denen die Funktion diese schneidet. Dort ist der Funktionswert, also der y-Wert null.
  • Bedingung für eine Nullstelle ist also immer f(x) = 0.
  • Abhängig von der Funktionsgleichung f(x) ergeben sich aus dieser Bedingung unterschiedliche Rechenschritte, mit denen Sie die x-Werte berechnen müssen.
  • Im einfachsten Fall müssen Sie (mit bekannten Formeln und Regeln) eine Gleichung nach x auflösen. Bei quadratischen Funktionen (Parabeln) können Sie beispielsweise die pq-Formel anwenden.

Nullstellen bei Polynomen - so funktioniert Ausklammern

Probleme beim Berechnen von Nullstellen treten häufig dann auf, wenn man als Funktion ein Polynom hat, also eine ganzrationale Funktion, deren Grad größer als 2 ist. Solch eine Funktion ist beispielsweise f(x) = x³ + 2x² - 1, die dritten Grades ist und mit den üblichen Methoden nicht zu knacken ist.

  • Eine mögliche Methode, um auch hier Nullstellen zu berechnen, ist das Ausklammern, wodurch sich der Grad des Polynoms verkleinert.
  • Allerdings müssen diese Polynome eine sehr spezielle Bedingung erfüllen: Der Term darf keine Konstante enthalten - oder anders formuliert: Alle Bestandteile des Funktionsterms müssen mindestens ein "x" enthalten.
  • So lässt sich das o.g. Beispiel f(x) = x³ + 2x² - 1 nicht durch Ausklammern lösen, wohl aber die Funktion f(x) = x³ + 2x².
  • In diesem Fall gehen Sie so vor, dass Sie aus dem Funktionsterm eine möglichst hohe Potenz von x ausklammern. Dadurch erniedrigt sich die Potenz von x in der Klammer, was häufig leichter zu berechnen ist.
  • Wenn Sie bei der Funktion f(x) = x³ + 2x² die Nullstellen berechnen sollen, so gilt zunächst x³ + 2x² = 0, die Bedingung.
  • Nun klammern Sie x² (die höchste mögliche Potenz) aus und erhalten: x² (x + 2) = 0.
  • Hierbei handelt es sich um ein Produkt. Dieses Produkt kann nur null werden, wenn entweder der erste Faktor (x²) null wird oder der zweite Faktor (x + 2) null wird.
  • Im ersten Fall erhalten Sie als Nullstelle x1 = 0 (x² = 0 folgt auch x = 0).
  • Im zweiten Fall erhalten Sie als Nullstelle x2 = -2 (berechnet aus x + 2 = 0). 

Fazit: In manchen Fällen lassen sich die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion berechnen, indem man eine Potenz von x ausklammert und dann die beiden Funktionsteile, die einen niedrigeren Grad haben, gesondert behandelt.

helpster.de Autor:in
Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen
Dr. Hannelore Dittmar-IlgenHannelore hat Mathematik, Physik sowie Chemie und Pädagogik studiert und erklärt diese schwierigen Themenfelder schon immer gerne ihren Mitmenschen. Auch über ihre Hobbys schreibt sie leidenschaftlich gerne, das können unsere Leser in den Kategorien Essen & Trinken sowie Handarbeit entdecken. Sie ist eine unserer fleißigsten Autorinnen der ersten Stunde von HELPSTER.