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Linearkombination von Vektoren - die Matheexpertin erklärt

Mit der Linearkombination von Vektoren bekommen Sie es zu tun, wenn Sie in der Oberstufenmathematik den Bereich "Lineare Algebra" durchnehmen. Was versteht man darunter und wie überprüft man lineare Unabhängigkeit?

Ebenen im dreidimensionalen Raum
Ebenen im dreidimensionalen Raum

Was Sie benötigen:

  • Grundkenntnisse "Vektor"

Lineare Abhängigkeit bei Vektoren - das sollten Sie wissen

Diese Erklärung bezieht sich konsequent auf den dreidimensionalen Raum, der in der linearen Algebra der Oberstufe behandelt wird. Sinngemäß gelten die Erklärungen natürlich auch für die Ebene, also den zweidimensionalen Raum.

  • Der dreidimensionale Raum wird durch drei sog. Basisvektoren aufgespannt, im einfachsten Fall die drei Einheitsvektoren in die drei Raumrichtungen Ihres Achsenkreuzes.
  • Allerdings gibt es darüber hinaus weitere Kombinationen dreier Vektoren, die ihrerseits einen (meist schiefwinkligen) Raum aufspannen können.
  • Im Folgenden seien diese Grund- bzw. Basisvektoren einfach (a), (b) und (c) genannt. Die in der Schule übliche Pfeildarstellung ist hier leider nicht möglich, die Klammern sollen andeuten, dass Sie die Koordinaten der Vektoren kennen.
  • Zwei dieser Vektoren bilden eine Ebene, der dritte bildet einen Winkel mit dieser Ebene.
  • Solch ein Basissystem heißt linear unabhängig.
  • Jeder weitere Vektor (d) im dreidimensionalen Raum ist von diesen drei Grundvektoren linear abhängig, das heißt, er lässt sich als Linearkombination dieser drei Vektoren darstellen oder einfacher gesagt: Man kann ihn aus den drei Grundvektoren "berechnen".
  • Dies bedeutet, dass es Zahlen r, s und t gibt (die nicht gleichzeitig alle Null sein dürfen, einige davon jedoch schon, wie das Beispiel unten zeigt), sodass dieser Vektor d = r * (a) + s * (b) + t * (c) ist. 

Linearkombination - ein Beispiel

Viele Aufgaben zur linearen Abhängigkeit laufen darauf hinaus, dass Sie drei gegebene Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit überprüfen sollen. Sind die drei Vektoren linear unabhängig, dann bilden Sie für den dreidimensionalen Raum ein Basissystem. Sind sie allerdings linear abhängig, dann kann einer der drei Vektoren (welcher, ist beliebig) als Linearkombination der beiden anderen dargestellt werden. In diesem Fall spannen zwei der Vektoren eine Ebene auf und der dritte liegt in dieser Ebene.

  1. Untersuchen Sie, ob die drei Vektoren (a) = (6, -1, -2), (b) = (12, -2,-4) und (c) = (-6,1,2) linear abhängig oder unabhängig sind.
  2. Schon durch Anschauen der Zahlen erkennt man, dass (c) = - (a) ist, also liegt der Vektor (c) parallel zu (a), weist jedoch in die Gegenrichtung. Ein derartiges System kann also nur linear abhängig sein.
  3. In diesem Fall spannen (a) und (b) eine Ebene auf, in der der Vektor (c) liegt.
  4. Als Linearkombination gilt dann (c) = -1 * (a) + 0 * (b).

Die Vektoren (e1) = (1,0,0), (e2) = (0,1,0) und (e3) = (0,0,1) bilden immer eine Basis des dreidimensionalen Raums, die in die jeweilige Richtung der drei Achsen weisen. Jeder weitere Vektor lässt sich immer als Linearkombination dieser Vektoren darstellen. So ist beispielsweise der Vektor (d) = (5,-1,3) so darstellbar: (d) = 5 * (e1) - 1 * (e2) + 3 * (e3).

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