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Lineare Gleichungssysteme: mehrere Lösungen - Hinweise

Manchmal machen lineare Gleichungssysteme, auch wenn es nur zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten sind, richtig "Ärger", denn es gibt nicht einfach nur eine, sondern gleich unendlich viele Lösungen. Aber warum ist das so?

Problem gelöst?
Problem gelöst?

Zwei Gleichungen und viele Lösungen - ein Problem

  • Vielleicht ist Ihnen das schon passiert: Sie wollen ein lineares Gleichungssystem mit nur 2 Gleichungen und zwei Unbekannten (meist x und y) lösen, aber es passiert beim Rechnen etwas "Komisches", denn die beiden Gleichungen sind nach einigen Umformungen identisch.
  • Dieser Fall tritt beispielsweise beim System 2x - 3y = 8 sowie 6y = 4x - 16 ein. Löst man hier beide Gleichungen nach x (oder y) auf, um diese nach dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, entpuppen sie sich als identisch.
  • In all solchen Fällen gibt es für das lineare Gleichungssystem tatsächlich mehrere, sogar unendlich viele Lösungen. Im Beispielfall können Sie für die Unbekannte x alle reellen Zahlen einsetzen und y nach einer der beiden Gleichungen berechnen. So wäre x = 1 und  y = -2 eine Lösung, aber auch x = 0 und y = -8/3. Je nach Wahl von x können Sie entsprechend weitere Lösungen finden.

Übrigens spricht man anstelle mehrerer Lösungen auch davon, das Gleichungssystem sei nicht eindeutig lösbar.

Lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten - ein Prüfverfahren

  • Hat man ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen mit n Unbekannten, so lernen Sie in der Oberstufenmathematik Möglichkeiten kennen, zu prüfen, ob mehrere Lösungen vorliegen.
  • Dabei handelt es sich um den Begriff der linearen Abhängigkeit. Im oben besprochenen Beispiel waren die beiden Gleichungen linear abhängig, denn die zweite Gleichung ließ sich durch Multiplizieren mit einer Zahl aus der ersten erzeugen.
  • Auch in einem linearen Gleichungssystem, das komplizierter ist als das oben aufgeführte, müssen Sie nicht viel mehr tun, als zu prüfen, ob die einzelnen Gleichungen linear abhängig sind.
  • Für dieses Verfahren gibt es mehrere Möglichkeiten. Zum Beispiel können Sie das System nach dem Gaußschen Algorithmus auflösen. Im abhängigen Fall erhalten Sie in einer der Zeilen nur Nullen - eine vor allem im Schulunterricht übliche Form der Prüfung.
  • Solch eine Nullzeile ist für jede Variablenkombination lösbar und stellt somit keine Einschränkung dar (man könnte sie auch weglassen).
  • Es verbleiben n-1 Gleichungen, jedoch weiterhin n Unbekannte. Auch hier ist also eine Unbekannte oder Variable frei wählbar, die anderen ergeben sich aus den verbliebenen Gleichungen. Das Gleichungssystem hat entsprechend eine einparametrige unendliche Lösungsmenge. Hat man mehr als eine Nullzeile, sind mehrere Unbekannte frei wählbar.

Übrigens: Enthält das lineare Gleichungssystem weniger Gleichungen als Variable, so reichen die Informationen für eine eindeutige Lösung ebenfalls nicht aus. Man nennt dies unterbestimmt. Überstimmte Systeme, die mehr Gleichungen als Unbekannte enthalten, sind entweder unlösbar, da sie auf einen Widerspruch (z. B. 0 = -1!) führen, oder lösbar, wenn Nullzeilen entstehen.

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