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Laplace-Experiment - so berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten

Ein Laplace-Experiment gehört in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dabei handelt es sich um ein Zufallsexperiment, bei dem sich Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse leicht ausrechnen lassen.

Würfeln ist ein Laplace-Experiment.
Würfeln ist ein Laplace-Experiment. © Andrea_Damm / Pixelio

Was Sie benötigen:

  • etwas Zeit und Geduld
  • Grundkenntnisse Wahrscheinlichkeitsrechnung

Laplace-Experiment - was ist das?

  • Ein Würfel wird geworfen, eine Karte wird aus einem Stapel gezogen oder eine Kugel aus der Lotto-Urne entnommen. Solche Experimente begegnen Ihnen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung relativ häufig.
  • Die beschriebenen Beispiele haben jedoch eine wichtige Eigenschaft gemeinsam, zumindest, wenn der Würfel nicht getürkt und die Karten gezinkt sind: Alle Elementarereignisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, das heißt, es ist genauso wahrscheinlich, eine "1" zu würfeln wie eine "6", etc.
  • Solche Zufallsexperimente werden zu Ehren des französischen Mathematikers Pierre Simon de Laplace als Laplace-Experimente bezeichnet. Gerade Laplace beschäftigte sich im 18. Jahrhundert ausführlich mit Wahrscheinlichkeiten, vor allem im Glücksspiel.
  • Einfache Ereignisse, auch Elementarereignisse genannt, lassen sich in einem solchen Laplace-Experiment, das eine Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeit ausweist, sehr leicht berechnen:
  • Gibt es bei dem Experiment n mögliche Ergebnisse, dann hat jedes dieser Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit 1/n.
  • So beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei einem normalen Würfel eine "6" zu würfeln p = 1/6, da es 6 mögliche Ergebnisse gibt.

Wahrscheinlichkeit für zusammengesetzte Ereignisse

Aber solch ein Laplace-Experiment kann noch mehr!

  • Oft ist bei einer Aufgabenstellung nicht die Wahrscheinlichkeit für ein Elementarereignis gesucht, sondern für ein beliebiges, zusammengesetztes Ereignis.
  • Für die Wahrscheinlichkeit dieses beliebigen Ereignisses gilt:
  • p = Anzahl der günstigen Ergebnisse: Anzahl aller möglichen Ergebnisse 
  • Ein Beispiel soll die Vorgehensweise erläutern: In einer Urne liegen elf Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 11 durchnummeriert wurden. Sie sollen eine Kugel ziehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine Primzahlnummer ziehen?
  • Auch in diesem Fall liegt ein Laplace-Experiment vor, denn alle Zahlen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit (1/11), gezogen zu werden. Sie interessieren sich jedoch für die günstigen Ereignisse, nämlich, dass Sie eine Primzahl ziehen. Zwischen 1 und 11 liegen genau fünf Primzahlen (2,3,5,7,11). Demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu ziehen, bei p = 5/11. Die Berechnung ist übrigens identisch mit einem ODER-Ereignis, nämlich eine 2 oder eine 3 oder ... zu ziehen. Hier addieren sich die Einzelwahrscheinlichkeiten (je 1/11) ebenfalls zu 5/11.
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