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Komplexe Zahlen - Gleichungen damit lösen Sie so

Komplexe Zahlen sind nicht gerade Stoff der Schulmathematik. Aber in vielen Studiengängen müssen mit ihnen durchaus Gleichungen gelöst werden.

Komplexe Zahlen - Gleichungen damit lösen Sie so
Video von Galina Schlundt

Was Sie benötigen:

  • Grundwissen "komplexe Zahlen"
  • Bleistift und Papier
  • evtl. Taschenrechner
  • Zeit und Interesse

Komplexe Zahlen - das sollten Sie wissen

  • Die Schulmathematik streift den Zahlenbereich der komplexen Zahlen nur am Rande, und zwar wenn quadratische Gleichungen gelöst werden sollen.
  • Oft erfährt man an dieser Stelle, dass es für die Wurzel aus negativen Zahlen durchaus Lösungen gibt, diese jedoch im Bereich der komplexen Zahlen liegen.
  • So wird √ -1 = i gesetzt, der sog. imaginären Einheit. Es gilt i² = -1.
  • Diese imaginäre Einheit bildet die Grundlage der komplexen Zahlen. Jede komplexe Zahl hat die Form a + bi, wobei a den Realteil darstellt und b den Imaginärteil.
  • An dieser Form erkennt man, dass durch die Einführung der imaginären Einheit i die reellen Zahlen erweitert wurden. Wenn b = 0 vorliegt, handelt es sich nämlich um eine reelle Zahl.

Gleichungen mit komplexen Zahlen - so gehen Sie vor

Egal, ob Sie lineare Gleichungen, ein Gleichungssystem oder auch andere Gleichungen haben, die komplexe Zahlen enthalten, so können Sie diese immer mit ein paar einfachen Grundregeln lösen.

  • Gleichungen mit komplexen Zahlen haben im Allgemeinen auch komplexe Zahlen als Lösung.
  • Da sich realer und imaginärer Bestandteil einer komplexen Zahl nicht vermischen, sollten Sie die Gleichung immer in einen Realteil und einen Imaginärteil aufteilen.
  • Aus einer "normalen" Gleichung wird auf diese Weise eine Gleichung für den Realteil, sowie eine Gleichung für den Imaginärteil. Beide werden getrennt gelöst.
  • Die Gesamtlösung (als komplexe Zahl) setzt sich dann aus der Lösung für den Realteil, sowie der Lösung des Imaginärteils zusammen.

Gleichung mit komplexen Zahlen - ein durchgerechnetes Beispiel

In diesem Beispiel soll die Gleichung 2z + 3i = 5z - 2 gelöst werden. Dabei bedeutet z = x + yi die komplexe Lösung dieser Gleichung (x und y müssen Sie berechnen) und i die oben erklärte imaginäre Einheit.

  1. Zunächst setzen Sie den Ansatz für z in die Gleichung ein und erhalten: 2x + 2yi + 3i = 5x + 5yi - 2
  2. Nun teilen Sie die Gleichung in Real- und Imaginärteil auf und erhalten für den Realteil: 2x = 5x - 2 und die Lösung x = 2/3. Für den Imaginärteil erhalten Sie 2yi + 3i = 5yi oder (einfacher) 2y + 3 = 5y und die Lösung y = 1.
  3. Die komplexe Lösung der Gleichung lautet dann z = 2/3 + 1i = 2/3 + i.

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