Das Knotenpunktverfahren der Statik
Das Knotenpunktverfahren tritt häufig im Teilgebiet Statik der Mechanik auf. Mithilfe dieses Verfahrens können einzelne Stabkräfte eines Fachwerkes und damit auch die herrschenden Belastungen ermittelt werden.
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- 31.01.2012 Sarina Scholl
Was Sie benötigen
Dafür brauchen Sie beide Hände
- Technisches Verständnis
- Kräftezerlegung
- Trigonometrische Funktionen
- Stift
- Papier
- Gleichungssystem
Knotenpunktverfahren - so gehen Sie vor
- Bevor Sie das Knotenpunktverfahren anwenden können, benötigen Sie zunächst einmal ein Fachwerk. Dieses Fachwerk müssen Sie um den betrachteten Knotenpunkt freischneiden, damit die inneren Kräfte, hier die Stabkräfte, erkennbar werden.
- Die Stabkräfte wirken immer entlang des jeweiligen Stabes, allerdings ist noch völlig unklar, ob die jeweilige Kraft eine ziehende oder drückende Wirkung hat.
- Machen Sie also eine Skizze Ihres Freischnitts und tragen Sie die Kräfte mit Farbe ein.
Gleichungssystem aufstellen für das Knotenpunktverfahren
- Da sich Ihr Fachwerk im Gleichgewicht befindet, müssen sämtliche angreifenden Kräfte sich neutralisieren. Unterscheiden Sie nun den zwei- und den dreidimensionalen Fall und überlegen Sie, welche Bedingungen für ein statisches Gleichgewicht gelten müssen.
- Im zweidimensionalen Fall gilt: Σ Fix= 0 und Σ Fiy= 0. Im dreidimensionalen Fall zusätzlich noch Σ Fiz = 0.
- Die Kräfte Fix, Fiy und Fiz sind also die unbekannten Kräfte, die Sie im Folgenden mit dem Knotenpunktverfahren berechnen möchten.
- Da die meisten Kräfte wahrscheinlich nicht genau in x-,y- oder z-Richtung zeigen werden, müssen Sie diese mittels Kräftezerlegung in Ihre einzelnen Komponenten zerlegen. Hier helfen Ihnen die trigonometrischen Funktionen weiter, da sich jeweils ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren lässt, welches die Kraftkomponenten enthält. Nachdem Sie alle Kräfte zerlegt haben, stellen Sie Ihr lineares Gleichungssystem auf. Im zweidimensionalen Fall besteht dieses aus zwei Gleichungen und es können daher zwei unbekannte Kräfte bestimmt werden. Im dreidimensionalen Fall sind es drei Gleichungen und es können drei unbekannte Kräfte bestimmt werden.
- Ein Beispiel für ein solches homogenes Gleichungssystem im zweidimensionalen Fall wäre: F1x+ F2x = 0, F1y + F 2y = 0. Es ergibt sich also F1x = -F2x und F1y = -F2y.
- Im dreidimensionalen Fall gehen Sie dabei genauso vor, es ergibt sich hier allerdings noch eine dritte Zeile für das lineare Gleichungssystem.
- Aus den ermittelten Kräftekomponenten lässt sich mithilfe des Satzes von Pythagoras nun auch die jeweilige Stabkraft ermitteln.
Stabkräfte von Fachwerken lassen sich am einfachsten mit dem Knotenpunktverfahren berechnen. Wenden Sie dieses so streng wie oben beschrieben an, dann kommen Sie schnell auf die Lösung.
