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Grenzwertberechnung - den Limes berechnen Sie so

Grenzwertberechnung - den Limes berechnen Sie so3:54
Video von Galina Schlundt3:54

In vielen mathematischen Fragestellungen müssen Sie eine Grenzwertberechnung durchführen. Wie Sie dabei den Grenzwert, auch Limes genannt, berechnen und was Sie damit anfangen können, erfahren Sie hier.

Was Sie benötigen:

  • Folge
  • Epsilonumgebung
  • Grenzwert
  • mathematische Grundkenntnisse
  • Betrag

Definition des Limes

Den einfachsten Zugang zum Limes und den Grenzwertberechnungen erhalten Sie über die Folgen. Diesen Weg sollten Sie auch beschreiten, um ein tieferes Verständnis über Grenzwerte zu erhalten.

  • Hierzu wählen Sie eine beliebige Folge (an), wobei n aus der Menge der natürlichen Zahlen ist. an sind die Folgenglieder Ihrer Folge.
  • Man sagt nun die Folge konvergiert gegen a, wenn für alle ε > 0 ein N aus den natürlichen Zahlen existiert, sodass für alle n >= N diese Werte in der Epsilonumgebung vom Grenzwert der Folge a liegen. Es liegen also "fast alle" (alle außer endlich vielen) Folgenglieder in der Epsilonumgebung von a.
  • Die Definition des Limes scheint unmittelbar einleuchtend. Haben Sie eine Folge von Zahlen und den Grenzwert der Folge, dann erwarten Sie doch sicherlich, dass die Zahlen der Folge sich dem Grenzwert immer mehr annähern, |an - a| ist dabei der Abstand des n-ten Folgengliedes und des Grenzwertes. Unabhängig von der Wahl von ε sind also immer nur endlich viele Folgengleider außerhalb der Epsilonumgebung.

Beispiel einer Grenzwertberechnung

Untersuchen Sie beispielsweise die Folge (an) = 1/n2 für n aus den natürlichen Zahlen auf ihren Grenzwert. Natürlich wird Ihnen schon klar sein, dass die Folge den Grenzwert a = 0 haben wird, doch wie können Sie die Grenzwertberechnung mathematisch sauber aufschreiben?

  1. Zunächst einmal geben Sie ε > 0 beliebig vor. Definieren Sie nun geschickt N durch N := 1/√ε, dann ist nach Umformung N = 1/√ε <=> ε = 1/N2.
  2. Es folgt also für n > N: |an - a| = |1/n2 - 0| = |1/n2| < 1/N2 = ε und tatsächlich ist a = 0 der Limes Ihrer Folge. 

Ein weiteres Beispiel einer Grenzwertberechnung

Untersuchen Sie beispielsweise die Folge (an) mit ihren Folgengliedern an = (6n2-3n+1)/(4n2+9) für n aus N auf ihren Grenzwert.

  1. Erweitern Sie zunächst Zähler und Nenner mit 1/n2 > 0, so erhalten Sie an = (6-3/n+1/n2)/(4+9/n2).
  2. Für die weiteren Schritte benötigen Sie die Grenzwertsätze der Addition, Multiplikation und Division. Zeigen Sie zunächst, dass der Grenzwert von 1/n für n gegen unendlich ebenfalls gleich 0 ist. Hierfür wählen Sie sich ein beliebiges ε > 0 und definieren N := 1/ε. Dann ist N = 1/ε <=> ε = 1/N und es gilt für alle n > N: |an- a| = |1/n - 0| = 1/n < 1/N = ε.
  3. Trivialerweise ist außerdem der Grenzwert der Folge (an) = c gleich c.
  4. Untersuchen Sie nun zunächst Zähler und Nenner getrennt voneinander und wenden Sie die Grenzwertsätze an. Beispielsweise ist der Grenzwert von 3/n gleich dreimal dem Grenzwert von 1/n oder der Grenzwert von 9/n2 gleich neunmal dem Grenzwert von 1/n2.
  5. Führen Sie anschließend Zähler und Nenner zusammen. Der Limes des Zählers ist 6, der Limes des Nenners 4. Damit ist insgesamt der Grenzwert der Folge a = 3/2.

Sie sehen, es ist gar nicht so schwierig, eine Grenzwertberechnung durchzuführen. Üben Sie dieses Verfahren zunächst an einigen einfachen Beispielen und wagen Sie sich dann an schwierigere Aufgaben heran.

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