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Graphisches Differenzieren - Erklärung

Graphisches Differenzieren - Erklärung2:39
Video von Galina Schlundt2:39

Durch graphisches Differenzieren können Sie aus einem gegebenen Graphen einer Kurve die Graphen der ersten und zweiten Ableitung qualitativ zeichnen. Die Erklärung des Verfahrens ist sehr einleuchtend und leicht verständlich.

Erklärung für das Ableiten von Funktionen

  • Graphisches Differenzieren wird ganz einfach, wenn Sie sich in erster Linie nur auf die Extrema, also die Hoch- und die Tiefpunkte einer Kurve konzentrieren.
  • Bedenken Sie, jeder Hochpunkt ist eine Nullstelle der ersten Ableitung. Vor diesem Punkt steigt die Kurve. Also muss die erste Ableitung vor dieser Nullstelle positiv sie, danach negativ, denn sie fällt logischerweise nach dem Hochpunkt.
  • Wenn Sie einen Tiefpunkt haben, dann haben Sie auch an dieser Stelle eine Nullstelle der ersten Ableitung. Aber vor dieser ist  f'(x) negativ und danach positiv.
  • Sofern f(x) im gesamten Bereich definiert ist, liegt zwischen dem Hoch- und dem Tiefpunkt ein Wendepunkt. Die erste Ableitung hat an der Stelle des Wendepunkts einen Extremwert. Zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt ändert sich die Krümmung der Kurve von rechts nach links, also ist in diesem Wendepunkt ein Minimum der ersten Ableitung zu finden.

Mit logischer Überlegung ist die Erklärung bezüglich des Wendepunktes überflüssig, denn Sie erkennen auch ohne dieses Wissen, wo die erste Ableitung ein Minimum oder ein Maximum hat.

Graphisches Differenzieren am Beispiel einer rationalen Funktion

  1. Angenommen Sie haben eine rationale Funktion 4. Grades mit zwei Hochpunkten und einem Tiefpunkt, wie der schwarz eingezeichnete Graph in der Skizze.
  2. Markieren Sie nun auf der x-Achse je einen Punkt senkrecht unter den Hochpunkten und einen senkrecht über dem Tiefpunkt.
  3. Zeichnen Sie einen kleinen Strich, der anzeigt, ob die x-Achse von unten nach oben oder von oben nach unten geschnitten wird. Das sind die roten und blauen Linien in der Zeichnung.
  4. Wie Sie an der Skizze sehen können, ergibt sich automatisch unter den Wendepunkten der Kurve f(x), ob f'(x) an dieser Stelle ein Maximum oder ein Minimum hat.

Das ist die ganze Erklärung, wie Sie etwas graphisch ableiten können. Sie können durch graphisches Differenzieren aber keine Aussagen darüber machen, welchen Wert f'(x) an einer anderen Stelle als der Nullstelle annimmt.

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