Alle Kategorien
Suche

Gleichungen aufstellen und lösen - so geht's

Gleichungen aufstellen und lösen - so geht's3:15
Video von Galina Schlundt3:15

Innerhalb des Mathematikunterrichtes wird das wichtige Thema, wie man Gleichungen aufstellen und lösen kann, behandelt. Dabei werden Gleichungen mit einer Unbekannnten, aber auch Gleichungen mit mehreren Unbekannten berechnet. Mit dieser Anleitung können Sie mit etwas Übung Gleichungen aufstellen und lösen.

Gleichungen aufstellen mit einer Unbekannten

Gleichungen mit einer Unbekannten, die Sie aufstellen, können Sie mit einer Anleitung für Gleichungen lösen.

  1. Gleichungen werden meist bei Textaufgaben aufgestellt. Dabei ist die Unbekannte eine Variable mit dem Ausdruck x. Wurde von Ihnen die Variable errechnet, muss nach Einsetzen des Wertes rechts und links neben dem Gleichheitszeichen das gleiche Ergebnis stehen. Dies nennt man Probe.
  2. Beispiel: Ein Rechteck hat einen Umfang von 24 cm. Die eine Seite ist um 2 cm länger als die andere. Wie lang sind die Seiten?
  3. Sie können die Gleichung so aufstellen und lösen, indem Sie zwei Seiten mit x bezeichnen. Da die anderen Seiten um 2 cm länger sind als x, lautet hierfür die Bezeichnung x + 2.
  4. Das Aufstellen und Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten erfolgt so: 2 x + 2 ( x + 2 ) = 24.
  5. Sie müssen nun die Klammer auflösen: 2 x + 2 x + 4 = 24.
  6. Fassen Sie nun die Terme mit x zusammen: 4 x + 4 = 24.
  7. Um diese Gleichung, die Sie aufstellen sollten, lösen zu können, müssen Terme mit x auf der linken und Zahlen auf der rechten Seite stehen. Subtrahieren Sie dafür die gesamte Gleichung mit 4: 4 x + 4 - 4 = 24 - 4.
  8. Sie erhalten nach diesem Rechenabschnitt 4 x = 20. Da Sie die Variable x errechnen wollen, teilen Sie nun die gesamte Gleichung durch 4 und erhalten für x = 5.
  9. Bei dieser Gleichung, die Sie ermitteln und lösen sollten, ist die Lösungsmenge 5. Das bedeutet, dass zwei Seiten des Rechteckes 5 cm lang und zwei Seiten 7 cm lang sind. Stellen Sie die Probe auf: 2 x 5 + 2 ( 5 + 2 ) = 24.

Rechenweg mit zwei Unbekannten definieren und lösen

Bei Gleichungen mit zwei Unbekannten, die Sie aufstellen und lösen, werden die Variablen meist mit x und y bezeichnet. Diese Gleichungen können Sie mit dem Einsetzungs- Gleichsetzungs- und Additionsverfahren aufstellen und lösen.

  1. Beispiel: Peter kauft 4 kg Äpfel und 3 kg Birnen und bezahlt dafür 17 Euro. Anna kauft 1 kg Äpfel und 6 kg Birnen und zahlt 20 Euro. Wie teuer sind 1 kg Äpfel und 1 kg Birnen? 
  2. Die Gleichungen, die Sie aufstellen und lösen sollen, sehen so aus: I. 4 x + 3 y = 17 und II. x + 6 y = 20.
  3. Beim Einsetzungsverfahren lösen Sie die 2. Gleichung nach x auf und setzen das Ergebnis für x in die erste Gleichung ein: II. x = 20 - 6 y und 4 ( 20 - 6 y ) + 3 y = 17.
  4. Lösen Sie die Gleichung nach y auf: 80 - 24 y + 3 y = 17 und - 21 y = - 63. Die Lösungsmenge lautet 3. Ein 1 kg Birnen kosten 3 Euro.
  5. Mit dem Gleichsetzungsverfahren können Sie die Gleichung auch aufstellen und lösen. Dafür lösen Sie beide Gleichungen auf eine Variable auf: I. x = 17 - 3 y / 4 und x = 20 - 6 y.
  6. Setzen Sie nun beide Gleichungen gleich und lösen Sie nach y auf: 17 - 3 y / 4 = 20 - 6 y. Sie erhalten auch bei diesem Verfahren das Ergebnis y = 3.
  7. Auch mit dem Additionsverfahren können Sie die Gleichung aufstellen und lösen. Dafür müssen Sie die zweite Gleichung mit - 4 erweitern und erhalten - 4 x - 24 y = -80.
  8. Schreiben Sie die erweiterte Gleichung unter die erste Gleichung und addieren Sie die untereinanderstehenden Zahlen und Terme. Sie erhalten - 21 y = - 63 und damit den Wert y = 3.

Verwandte Artikel

Redaktionstipp: Hilfreiche Videos