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Geradenscharen und ihr gemeinsamer Punkt - so bestimmen Sie ihn

Geradenscharen und ihr gemeinsamer Punkt - so bestimmen Sie ihn2:36
Video von Galina Schlundt2:36

Was sind eigentlich in der Mathematik Geradenscharen und haben diese immer einen Schnittpunkt, ein gemeinsamer Punkt, an dem sich alle treffen?

Was Sie benötigen:

  • Grundwissen: Gerade bzw. lineare Funktion

Was versteht man in der Mathematik unter Geradenscharen?

  • Unter dem Begriff "Geradenschar" versteht man eine unendliche Anzahl von Geraden, die sich in einem Merkmal unterscheiden, nämlich entweder in der Steigung oder im y-Achsen-Abschnitt.
  • Eine Geradenschar mit unterschiedlicher Steigung kann beispielsweise die Form y = mx + 2 haben. Die Steigung m kann hier alle reellen Zahlen durchlaufen. Für jede Zahl ergibt sich eine Gerade aus dieser Schar. Zeichnet man einige dieser Geraden in ein Koordinatensystem, erkennt man, dass es sich hierbei um ein Büschel mit einem gemeinsamen Schnittpunkt handelt.
  • Eine Geradenschar mit unterschiedlichem y-Achsen-Abschnitt, jedoch konstanter Steigung, kann beispielsweise die Form y = 3x + b haben. Auch hier kann "b" alle reellen Zahlen durchlaufen. Diese Geradenschar besteht aus unzähligen parallelen Geraden, die alle die Steigung "3" haben.

Gemeinsamer Schnittpunkt - gibt es diesen?

  • Die Geradenschar mit konstanter Steigung (lauter Parallelen) hat selbstredend keinen gemeinsamen Schnittpunkt. 
  • Dementsprechend kann nur bei Geradenscharen, bei denen die Steigung variiert, ein gemeinsamer Punkt vorliegen, eben der Punkt, in dem sich das Geradenbüschel trifft. Aber wie berechnen Sie diesen?
  • Zunächst einmal lässt sich dieser aus einer Plausibilitätsüberlegung ermitteln: Zu der Geradenschar y = mx + 2 gehört beispielsweise auch die Gerade y = +2 (nämlich für m = 0). Dabei handelt es sich um eine Gerade, die parallel zur x-Achse durch den Punkt S(0/2) geht. Auch alle anderen Geraden dieses Büschels gehen durch diesen Punkt, er ist also gemeinsamer Punkt der Schar. 
  • Berechnen lässt sich dieser Punkt wie folgt: Sie suchen letztendlich den Schnittpunkt zweier fester, jedoch beliebiger Geraden aus dem Büschel, beispielsweise durch Lösen der beiden Gleichungen y = mx +2 und y = nx + 2 mit den beiden Unbekannten x und y (den Koordinaten des Schnittpunktes). Da m und n verschieden, jedoch frei wählbar, sind, berechnet man x = 0 und durch Einsetzen y = 2. Gemeinsamer Punkt ist also (wie oben) S(0/2).

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