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Ganzrationale Funktion - Nullstellen ausrechnen

Ganzrationale Funktion - Nullstellen ausrechnen2:50
Video von Galina Schlundt2:50

Mathematik, das unbeliebte Fach aus der Schulzeit. Doch vielleicht brauchen Sie es irgendwann doch noch einmal. Wissen Sie noch, was ganzrationale Funktionen sind? Und wie man deren Nullstelle berechnet?

Was Sie benötigen:

  • Blatt
  • Stift
  • Taschenrechner

Allgemein ist zu sagen, dass eine Nullstelle eine Zahl mit dem Funktionswert 0 ist. Der Graph schneidet oder berührt an diesem Punkt oder an diesen Punkten die x-Achse. Ganzrationale Funktionen mit nur ungeraden Exponenten weisen mindestens eine Nullstelle auf. Andere Funktionen hingegen müssen nicht immer eine Nullstelle besitzen. Der größte Exponent einer Funktion ist die Hilfestellung, denn dieser zeigt den maximalen Wert der Nullstellen auf, denn eine ganzrationale Funktion n-ten Grades kann im Höchstfall n-Nullstellen haben.

Ganzrationale Nullstellenberechnung 1. Grades

  1. Bei einer ganzrationalen Funktion 1. Grades handelt es sich um eine Gerade, die nur eine Nullstelle besitzt.
  2. Für die Berechnung setzen Sie bitte für f(x) = 0 ein und lösen Sie die Gleichung nach x auf. Ein Beispiel:

               f(x) = -8x + 4

                 0  = -8x + 4

                 0  = -8x + 4 I -4

                -4  = -8x  I : (-8)

              0,5  = x

         Die ganzrationale Funktion hat ihren Nullpunkt somit bei 0,5.

Die Funktion 2. Grades

  1. Die sogenannte Potenzfunktion zweiten Grades kann bis zu zwei Nullstellen aufweisen.
  2. Sie gehen zunächst wie im oberen Beispiel vor und setzen die Funktion f(x) = 0, um sie dann nach x aufzulösen. Hierbei ist die pq-Formel anzuwenden. Ein Beispiel: 

               f(x) = 2x² + 4x – 6

                 0  = 2x² + 4x – 6

                 0  = 2x² + 4x – 6 I :2 (bei der pq-Formel muss die Zahl vor dem x² = 1 sein)

                 0  =   x² + 2x – 3

              Sie erhalten Ihre Nullstellen bei x = 1 und bei x = – 3.

Nullstellenberechnung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

  1. Bei ganzrationalen Funktionen 3. Grades und mehr lässt sich keine Formel bestimmen, mit der die Nullstellen direkt berechnet werden können.
  2. Zunächst versuchen Sie bitte den Grad durch das Faktorisieren zu verkleinern, indem Sie x in folgendem Beispiel ausklammern.

               f(x) = 2x³ + 4x² - 6x

               0    = 2x³ + 4x² - 6x I x ausklammern

               0    = x ( 2x² + 4x -6 ) I x = 0 (Lösung1) -> Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist

               0    = 2x² + 4x -6 I :2

               0    = x² + 2x - 3 I pq-Formel anwenden ( p = 2 und q = -3 )

Nach Anwendung der pq-Formel müssten Sie zu dem Ergebnis kommen, dass die ganzrationale Funktion 3. Grades noch 2 weitere Nullstellen bei x = 1 und bei x = -3 aufzeigt.

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