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Fraktale in der Technik und ihre Anwendung - eine Erklärung

Dreidimensional, zweidimensional und eindimensional - was davon ist eigentlich die Fraktale? Es sei Ihnen vorab verraten, dass die Fraktale ihre eigene Dimension hat. Wieso, das wiederum hat mit ihren spezifischen Eigenschaften zu tun. Kein Wunder, dass sie vor allem in der Technik vielerlei Anwendungsbereiche findet.

Ein Anwendungsbereich der Fraktalen ist die Bildtechnik.
Ein Anwendungsbereich der Fraktalen ist die Bildtechnik. © P.M.M. / Pixelio

Zur Fraktalen und ihrer Dimension

  • Sie sollten vorab wissen, dass die Dimension einer fraktalen Menge sich laut Geometrie nicht festlegen lässt. Zwar mag sie von Eindimensionalität ausgehen, kann sich während des Berechnens jedoch zur Zweidimensionalität entwickeln.Diese Erkenntnis geht auf Mandelbrot zurück, der erkannte, dass fraktale Mengen keine ganzzahligen Dimensionen besitzen.
  • So entstand der Begriff der fraktalen Dimension, was im Endeffekt die Eigenschaft der Nicht-Ganzzahligkeit implizieren soll. Die Dimension einer Fraktalen ist so also weder eins noch zwei noch drei, sondern etwas Gebrochenes dazwischen. 
  • Ausnahmen sind dabei solche Fraktalen mit Selbstähnlichkeit. Wenn eine Fraktale sich also aus einer Vielzahl von sich identischen Verkleinerungen der Fraktalen selbst zusammensetzt, ist nicht die fraktale Dimension anzusetzen, sondern die Ähnlichkeitsdimension.
  • Als Sonderfall können Sie sich hier statische Selbstähnlichkeit merken. Liegt demnach konstant und statisch Selbstähnlichkeit in einer Menge vor, so bezeichnet man die Menge als Zufallsfraktale.

Selbstähnlichkeit in der Technik

  • Wenn Sie sich für die Anwendungsbereiche von Fraktalen in der Technik interessieren, so werden Sie vorab wahrscheinlich wissen wollen, wie Fraktale eigentlich generiert werden können. Zwar existiert hierzu eine Vielzahl von Wegen, jedoch arbeiten alle von ihnen rekursiv.
  • Als der am weitesten verbreitete Weg zur Generierung von Fraktalen kann Ihnen die Iteration von Funktionen genannt werden. So können gegebene Funktionen oder Funktionssysteme durch Iteration Fraktale generieren, wobei es im Falle von Funktionssystemen mit Iterationzu einer Kombination unterschiedlicher Funktionen kommt.
  • Um die Generierung von Fraktalen effektiv für die Technik zu nutzen, existieren mittlerweile sogar Computerprogramme, mit denen auch Sie als Laie Fraktalen generieren können, ohne sich mit Formeln und mathematischen Hintergründen auseinandersetzen zu müssen.
  • Nachdem Sie nun Grundlagenwissen zur Fraktalen erworben haben, können Sie sich vielleicht auch selbst schon vorstellen, in welchen Bereichen der Technik sie Anwendung findet. So existieren in erster Linie fraktale Kompressionsverfahren, jedoch findet die Fraktale daneben auch zur Simulation von nichtlinearen Prozessen Verwendung.
  • Um Ihnen einen tieferen Einblick in eben genannte Kompressionsverfahren zu geben, kann nun auf die Bildkompression eingegangen werden. So wird die fraktale Bildkompression zur Kompression von Digitalbildern verwendet. Das Verfahren beruht dabei auf dem Prinzip der Selbstähnlichkeit durch iterierte Funktionssysteme. 
  • Durch die Fraktalen können komplizierte Bilder durch mehrere affine Abbildungen des ursprünglichen Bildes erzeugt werden. Wollen Sie beispielsweise einen Farn darstellen, so suchen sie an ihm eine Stelle heraus, die einer anderen zum Verwechseln ähnlich ist. Dieses Vorgehen wiederholen Sie so lange, bis Sie genügend Flächen gefunden haben, um durch Zusammenfügen ein gesamtes Bild zu generieren.
  • Durch Kontrastanpassungen, rotieren und transformieren der einzelnen Teile soll das Ursprungsbild rekonstruiert werden. Alle möglichen Zusammenfügungen müssen dazu erstellt werden, bis sich ein beinahe perfektes Abbild ergibt.

Da Verfahren auf Basis von Selbstähnlichkeit extrem aufwendig sind, sei Ihnen zuletzt empfohlen, sich entsprechende Programme zu kaufen, falls Sie sich tatsächlich an der Technik der fraktalen Bildkompression versuchen wollen. 

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