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Fallunterscheidung bei Ungleichungen - so wird's gemacht

Bruchungleichungen lösen - leicht gemacht!
Bruchungleichungen lösen - leicht gemacht!
Sind bei Ungleichungen tatsächlich Fallunterscheidungen nötig? Wenn es um Bruchungleichungen oder Betragsungleichungen geht, schon. Hier wird an zwei Beispielen erklärt, wie Sie vorgehen müssen.

Bruchungleichungen - so funktioniert's

Bei einer Bruchungleichung haben Sie sowohl im Nenner als auch im Zähler des Bruches Terme mit der Unbekannten x stehen. Als Beispiel soll die Bruchungleichung (x + 3)/(x - 2) < 0 gelöst werden:

  1. Wie Ihnen bekannt ist, wird ein Bruch in zwei Fällen negativ. Im ersten Fall ist der Zähler negativ und der Nenner positiv (- durch + ergibt -). Im zweiten Fall liegt die Umkehrung vor (+ durch - ergibt -). Diese Fallunterscheidung müssen Sie bei Ihrer Rechnung durchführen. 
  2. Für den ersten Fall haben Sie die beiden Ungleichungen x + 3 < 0 und x - 2 > 0 zu bearbeiten. Aus den Ungleichungen erhalten Sie die Lösungen x < -3 und x > 2. Allerdings gibt es keine Zahl, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt, sodass der erste Fall Ihrer Ungleichung zu keiner Lösung führt.
  3. Für den zweiten Fall erhalten Sie die beiden Ungleichungen x + 3 > 0 und x - 2 < 0. Sie berechnen x > -3 sowie x > 2. Lösungen sind in diesem Fall alle Zahlen zwischen -3 und 2.

Als Lösung der Bruchungleichung haben Sie also -3 < x < 2.

So lösen Sie Betragsungleichungen mit Fallunterscheidung

In solchen Ungleichungen kommen Terme mit der Unbekannten x als Betrag vor. Die Fallunterscheidung ergibt sich, wenn das "Innenleben" des Betrages negativ oder positiv wird. Als Beispiel sei die Betragsungleichung |x| - x > 0 gegeben:

  1. Der Betrag | | ordnet jeder Zahl x immer ihren positiven Wert zu, egal, welches Vorzeichen die Unbekannte x hat. So gilt |-1| = 1 und auch |1| = 1. Als Fallunterscheidung für das Beispiel erhalten Sie x > 0 sowie x < 0.
  2. Für x > 0 können Sie die Betragsstriche einfach weglassen und die Ungleichung auflösen. Sie erhalten x - x > 0 und hieraus 0 > 0. Diese Ungleichung hat keine Lösung.
  3. Für x < 0 ersetzen Sie |x| = -x. Um diese Vorgehensweise zu verdeutlichen, setzen Sie einfach x = -3 ein und Sie sehen, dass |-3| = - (-3) = 3 ist. Sie erhalten die Ungleichung -x - x > 0. Sie errechnen -2x > 0 und hieraus x < 0 als Lösung. Beachten Sie, dass sich das Ungleichheitszeichen beim Teilen durch (-2) umdreht. Alle negativen Zahlen sind also Lösung dieser Betragsungleichung, wie man durch eine einfache Probe feststellen kann. Diese Lösung passt auch zur Fallunterscheidung (x < 0), welche Sie immer überprüfen müssen. 

Als Lösung haben Sie also x < 0.

helpster.de Autor:in
Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen
Dr. Hannelore Dittmar-IlgenHannelore hat Mathematik, Physik sowie Chemie und Pädagogik studiert und erklärt diese schwierigen Themenfelder schon immer gerne ihren Mitmenschen. Auch über ihre Hobbys schreibt sie leidenschaftlich gerne, das können unsere Leser in den Kategorien Essen & Trinken sowie Handarbeit entdecken. Sie ist eine unserer fleißigsten Autorinnen der ersten Stunde von HELPSTER.
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