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Faktorisieren mit binomischen Formeln - die Matheexpertin erklärt, wie's geht

Faktorisieren mit binomischen Formeln - die Matheexpertin erklärt, wie's geht3:50
Video von Galina Schlundt3:50

Faktorisieren ist eine mathematische Operation, bei der Klammern gebildet werden. In vielen Übungsbeispielen sollen aus einem gegebenen Term eine der binomischen Formeln gebildet werden. Hier wird gezeigt, wie Sie dabei vorgehen.

Was Sie benötigen:

  • Grundwissen "Algebra"
  • Bleistift und Papier
  • evtl. Taschenrechner
  • Zeit und Geduld

Faktorisieren - das sollten Sie wissen

  • Den Begriff "Faktor" kennen Sie wahrscheinlich aus der Multiplikation, denn dort werden zwei (oder mehr) Faktoren miteinander multipliziert, um das Produkt zu erhalten.
  • Ein Faktor ist dementsprechend ein Teil einer Multiplikationsaufgabe, egal, ob diese aus Zahlen oder komplizierteren algebraischen Termen besteht.
  • Lautet also die Aufgabe "faktorisieren", so bedeutet dies, dass der gegebene Term in einzelne Faktoren zerlegt bzw. aufgespalten werden soll. Mit anderen Worten: Sie sollen eine Multiplikation daraus machen.
  • Sollen Sie nun mit binomischen Formeln faktorisieren, dann bedeutet das, Sie sollen aus dem gegebenen Term die binomischen Formeln in Klammerform erstellen. Dies entspricht übrigens der Umkehraufgabe zu den meisten Übungen mit den binomischen Formeln, sozusagen "Formeln rückwärts".

Zurück zu den binomischen Formeln - so geht's

Voraussetzung für das Faktorisieren mit binomischen Formeln ist natürlich, dass Sie diese wichtigen Formeln der Algebra beherrschen, sprich: auflösen können. Das Faktorisieren geht dann entsprechend dem folgenden Schema:

  1. Stellen Sie anhand des gegebenen zwei- oder dreiteiligen Ausdrucks fest, um welche der drei Formeln es sich handelt. Die beiden ersten binomischen Formeln erkennen Sie am Vorzeichen des Mittelterms! Die dritte binomische Formel ist aufgelöst nur zweiteilig, kann also leicht erkannt werden. 
  2. Bestimmen Sie die beiden Stellvertreter a und b aus der Formel, indem Sie Zahlen oder Buchstabenkombinationen finden, die quadriert die entsprechenden Terme in der Aufgabe ergeben. Alternativ können Sie auch die Wurzel aus dem ersten und letzten Termteil bilden.
  3. Schreiben Sie dann die binomische Formel in Klammerform hin.
  4. Prüfen Sie unbedingt die Richtigkeit der Lösung. Dieser letzte Teil ist vor allem für die beiden ersten binomischen Formeln wichtig, da der mittlere Term (2ab) stimmig sein muss (Beispiel dazu unten).

Binomische Formeln rückwärts - Beispiele zum Faktorisieren

Die eher trockene Vorgehensweise soll an einigen Beispielen sowie einem Gegenbeispiel erläutert werden:

  • Sie sollen den Ausdruck x² - 4xy + 4y² in eine binomische Formel überführen. Es handelt sich um die zweite binomische Formel (Minus im Mittelteil). Diese hat die Form (a - b)² und Sie finden a = x sowie b = 2y. Dementsprechend gilt x² - 4xy + 4y² = (x - 2y)². Prüfen müssen Sie noch den Mittelterm 2ab = 2x*2y = 4xy, das Ergebnis ist also korrekt. 
  • Der Ausdruck 4y² + 4y + 64 sieht zunächst so aus, als handele es sich um die erste binomische Formel (2y + 8)². Ein Überprüfen des Mittelterms zeigt jedoch, dass 2ab = 2y*8 = 16y ist. Es handelt sich also um keine (!) binomische Formel. Der Ausdruck kann (in dieser Form) nicht faktorisiert werden.
  • Bei dem Ausdruck 4y4 - 25x8 handelt es sich um die dritte binomische Formel (da zweiteilig), die die Form (a + b)(a - b) hat. Sie finden a = 2y2 und b = 5x4 und damit 4y4 - 25x8 = (2y2 + 5x4)(2y2 - 5x4). Prüfen entfällt hier, da kein Mittelteil vorhanden ist.
  • Aber Achtung: Der Ausdruck 40x³ - y² sieht zunächst nach der dritten binomischen Formel aus. Allerdings lässt sich aus 40x³ nicht die Wurzel ziehen. Auch dieser Term lässt sich also nicht mit binomischen Formeln faktorisieren. Ebenfalls nicht geeignet sind Terme der Form x² + y², da das Rechenzeichen der dritten binomischen Formel nicht stimmt.
  • Bei manchen Aufgaben "versteckt" sich die Formel jedoch. Beim Ausdruck 8x³ - 50x würde man zunächst keine binomische Formel vermuten. Klammert man allerdings (auch dies ist ja faktorisieren) zunächst 2x aus und erhält 8x³ - 50x = 2x(4x² - 25), so lässt sich der Klammerteil dann in die dritte binomische Formel verwandeln. Das Ergebnis dieses Beispiels lautet: 8x³ - 50x = 2x(2x + 5)(2x - 5). Wenn Sie also auf einen ungeeigneten Kandidaten stoßen, sollten Sie zunächst prüfen, ob Sie nicht erst einen Term ausklammern können, bevor Sie den Rest in eine der binomischen Formeln umwandeln!

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