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Extremwerte berechnen - so finden Sie Hoch- und Tiefpunkt

Das Berechnen von Extremwerten ist ein Teilgebiet der Differentialrechnung und wird in der Oberstufe des Gymnasiums behandelt. Allerdings tauchen auch im Alltag hin und wieder Fragestellungen auf, bei denen Extremwerte eine wichtige Rolle spielen.

So bestimmen Sie erfolgreich Extremwerte.
So bestimmen Sie erfolgreich Extremwerte.

Was Sie benötigen:

  • mathematisches Denkvermögen
  • Skizze
  • Stift
  • Papier
  • Ableitungsregeln

Warum überhaupt Extremwerte bestimmen?

  • In der Regel ist in der Aufgabenstellung eine Funktion gegeben, die auf Extremwerte untersucht werden soll. Es kann allerdings auch sein, dass Sie sich aus einem Sachverhalt durch Modellbildung eine Funktion aufstellen müssen, die diesen Sachverhalt widerspiegelt.
  • So könnte die Funktion beispielsweise eine Flächeninhaltsfunktion sein, die als Variable die Breite eines Brettes hat. Ihr Ziel besteht darin, aus dem Brett einen möglichst großen Tisch zu bauen. Hierfür müssen Sie die Extremwerte dieser Funktion berechnen. Genauer gesagt suchen Sie die Breite des Brettes, für die die Funktion, also der Flächeninhalt des Tisches, gerade maximal wird.
  • In vielen realen Situation sind maximale oder minimale Werte, unter bestimmten Nebenbedingungen, gesucht.

So berechnen Sie die Extremwerte

  1. Nehmen wir an, Ihnen liegt nun eine Funktion f vor, die von einer Variable x abhängt. Dann ist die notwendige Bedingung für Extremwerte jeweils, dass die Ableitung der Funktion an dieser Stelle gerade null ist. Es muss also gelten f'(x) = 0
  2. Das Berechnen der Ableitung könnte dabei die Kenntnis der Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel erfordern. Diese finden Sie in jeder Standardformelsammlung.
  3. Haben Sie eine oder mehrere Stellen gefunden, für die die Bedingung f'(x) = 0 erfüllt ist, so kommen diese Stellen für Extremwerte in Betrachtung.
  4. Zusätzlich muss aber noch die hinreichende Bedingung für Extremwerte erfüllt sein. Diese lautet: f'(x) = 0 und f''(x) > 0 für einen Tiefpunkt oder f'(x) = 0 und f''(x) < 0 für einen Hochpunkt.
  5. Ist sowohl die notwendige als auch die hinreichende Bedingung erfüllt, dann haben Sie einen Extremwert bestimmt. Die Koordinaten des Punktes erhalten Sie, wenn Sie den x-Wert in die Funktion f einsetzen.
  6. Als Beispiel schauen wir uns die Funktion f(x) = x3+2x2- 1 an. Die erste Ableitung lautet f'(x) = 3x2+ 4x. Die zweite Ableitung ergibt sich durch f''(x) = 6x + 4. Setzen wir die erste Ableitung gleich null dann erhalten wir 0 = f'(x) = 3x2 + 4x = x(3x+4), also x1 = 0 und x2 = -4/3. Setzen wir diese Werte in die zweite Ableitung ein, dann erhalten wir wiederum f''(x1) = 4 und f''(x2) = 6(-4/3) + 4 = -8 + 4 = -4. An der Stelle x1 liegt also ein Tiefpunkt vor und an der Stelle x2 ein Hochpunkt. Die Koordinaten berechnen Sie dann durch f(x1) = f(0) = -1 und f(x2) = f(-4/3) = (-4/3)3+ 2(-4/3)2 - 1 = -64/27 + 32/9 - 1 = 5/27. Also ist der Tiefpunkt bei T(0|-1) und der Hochpunkt bei H(-4/3|5/27).

Wie Sie sehen, ist es gar nicht so schwer, Extremwerte zu berechnen. Man muss lediglich wissen, wie man an die Sache herangeht und die Ableitungsregeln sicher beherrschen.

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