Alle Kategorien
Suche

Exponentielle Abnahme - Formel erklärt

Bierschaumzerfall
Bierschaumzerfall
Bei einer exponentiellen Abnahme handelt es sich in den meisten Fällen um Zerfallsprozesse, egal, ob es sich dabei um den radioaktiven Zerfall eines Präparats oder um die Höhe des Bierschaums in Ihrem Glas handelt. Dafür gibt es eine spezielle Formel.

Was Sie benötigen:

  • Grundwissen "Exponentialfunktion"

Exponentielle Zerfallsprozesse - die Formel

  • Ähnlich, wie sich exponentielle Wachstumsprozesse (die berühmten Bakterien zum Beispiel) mithilfe einer Exponentialfunktion darstellen lassen, ist dies auch für Zerfallsprozesse, also exponentielle Abnahmen einer bestimmten Größe möglich.
  • Hier gilt die allgemeine Funktionsformel N(x) = No * exp (-kx) oder in anderer Schreibweise N(x) = No * e-kx. Die Variable x kann hier die Zeit sein, aber auch jede andere Größe, von der die Abnahme abhängt.
  • Die Formel enthält weitere für die Beschreibung der exponentiellen Abnahme wichtige Konstanten, nämlich No sowie k. No ist hier der Anfangswert der Größe, beispielsweise die Anzahl der Teilchen (oder Bakterien) am Anfang Ihrer Beobachtung.
  • k heißt Zerfallskonstante und ist in diesem Fall eine positive Zahl. Sie ist ein Maß für die Schnelligkeit des Zerfalls bzw. der Abnahme. k hängt auch mit der Halbwertszeit des Zerfalls zusammen, und zwar über die Formel T1/2 = ln (2) / k.

Abnahme von Bierschaum - ein Beispiel

Bierschaum folgt (grob gesprochen) einem exponentiellen Zerfall, das heißt, seine Abnahme in einem schön gefüllten Bierglas folgt der oben genannten Zerfallsformel. Dabei verhalten sich unterschiedliche Biere natürlich auch unterschiedlich.

  • Für das Beispiel nehmen Sie ein schön eingeschenktes Weizenbier an, das beim Startpunkt Ihrer Messungen eine 3 cm hohe Schaumkrone aufweist. Nach 4 Minuten ist sie nur noch halb so groß. Sie sollen das Zerfallsgesetz für diesen Prozess aufstellen.
  • Zunächst einmal wählen Sie für die Variable x die Zeit t in Minuten. N(t) ist dann die Höhe des Bierschaums (in cm) zur Zeit t. Die Konstante No = 3 cm haben Sie bereits aus der Aufgabe.
  • Sie müssen also lediglich die Zerfallskonstante k berechnen. Hier hilft die Formel für die Halbwertszeit T1/2 = ln (2) / k weiter. Sie kennen T1/2 = 4 Minuten und berechnen hieraus k = ln (2) / T1/2 = 0,173 (pro Min).
  • Das Zerfallsgesetz für Ihr Bierschaumexperiment lautet also N(t) = 3 * exp (-0,173*t).

Vom mathematischen Standpunkt her ist der Bierschaum natürlich nie ganz zerfallen (die e-Funktion wird ja nicht Null). Praktisch ist die Sache zu Ende, wenn die letzte kleine Blase platzt. Aber wann ist der Schaum nur noch mickrig und nicht höher als 1 Millimeter? Setzen Sie N(t) = 0,1 cm ein und berechnen Sie dann aus der Bedingung 0,1 = 3 * exp (-0,173*t) die Zeit t = 19,66 min. Wollen Sie wirklich so lange warten? Die Rechnung zeigt die Grenzen des Modells.

helpster.de Autor:in
Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen
Dr. Hannelore Dittmar-IlgenHannelore hat Mathematik, Physik sowie Chemie und Pädagogik studiert und erklärt diese schwierigen Themenfelder schon immer gerne ihren Mitmenschen. Auch über ihre Hobbys schreibt sie leidenschaftlich gerne, das können unsere Leser in den Kategorien Essen & Trinken sowie Handarbeit entdecken. Sie ist eine unserer fleißigsten Autorinnen der ersten Stunde von HELPSTER.
Teilen: