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Empirische Kovarianz berechnen

In der Statistik benötigen Sie an einigen Stellen die empirische Kovarianz. Doch was sagt die Größe überhaupt aus und wie lässt sie sich berechnen? In der Finanzwelt spielt die Kovarianz beispielsweise eine wichtige Rolle.

Unter Berücksichtigung des Diversifikationseffekts können Sie Ihr Portfolio optimieren.
Unter Berücksichtigung des Diversifikationseffekts können Sie Ihr Portfolio optimieren.

Was Sie benötigen:

  • Formel
  • Kovarianz
  • Stichproben
  • arithmetisches Mittel

Empirische Kovarianz interpretieren und berechnen

Die empirische Kovarianz bestimmt den linearen Zusammenhang zweier statistischer Variablen. Sehr wichtig ist diese Größe in der Finanzierung, z. B. zur Interpretation bestimmter Verhaltensweisen von Aktien untereinander und der daraus resultierenden sinnvollen Zusammenstellung zu einem Portfolio.

  • Um die empirische Kovarianz zu bestimmen, benötigen Sie zunächst einmal eine Stichprobe (xi, yi). Dies könnten beispielsweise die durchschnittlichen Kurse zweier Aktien an einem Börsentag und über einen bestimmten Zeitraum sein. Nun bestimmen Sie die arithmetischen Mittel von xi und yi. Es gilt xa = 1/n Σxbzw. ya = 1/n Σyi.
  • Zur empirischen Kovarianz gelangen Sie nun, wenn Sie die Abweichungen der einzelnen Messwerte xi und yi vom jeweiligen arithmetischen Mittel multiplizieren, danach aufsummieren und anschließend durch n-1 teilen. Es ergibt sich für die empirische Kovarianz also sxy2 = 1/(n-1)*Σ(xi-xa)(yi-ya).
  • Interpretieren können Sie dies nun wie folgt: angenommen bestimmte Werte Ihrer Stichprobe xweichen stark nach oben ab, dann wird (xi-xa) für diese Werte von i stark positiv. Nun schauen Sie sich die Werte yi an. Weichen diese ebenfalls stark nach oben ab, so wird (yi-ya) ebenfalls stark positiv und damit das Produkt (xi-xa)(yi-ya) ebenfalls stark positiv. Summieren Sie diese nun auf, dann ist die Summe natürlich auch stark positiv.
  • Sie können also sagen, verhalten sich die Zufallsvariablen X und Y ähnlich, so wird die empirische Kovarianz positiv. Je stärker dieser Zusammenhang zwischen X und Y ist, desto größer wird die Kovarianz.
  • Umgekehrt gilt auch, dass die Kovarianz stark negativ wird, wenn sich die Zufallsvariablen gegenläufig verhalten. Eine Kovarianz von 0 wird erreicht, wenn kein Zusammenhang zwischen X und Y festgestellt werden kann. Es kann hier sein, dass beispielsweise für viele Werte von i xi und yi stark nach oben ausschlagen, für viele andere Werte von i aber xi zwar nach oben ausschlägt, ysich aber völlig anders verhält.

Anwendungsgebiete für die empirische Kovarianz

Die empirische Kovarianz ist für das Zusammenstellen eines Portfolios aus Aktien und anderen Wertpapieren sehr wichtig.

  • Machen Sie sich zunächst den einfachen Fall von zwei verschiedenen Aktien klar. Zur Übung können Sie die Kovarianz zweier Aktien ja einmal berechnen, indem Sie die Tageskurse beider Aktien über einen Monat gesehen nehmen und die Kovarianz bestimmen.
  • Sie können natürlich in zwei Aktien investieren, die sich nahezu identisch am Markt verhalten. Doch ist dies sinnvoll? Solange die Kurse steigen, profitieren Sie natürlich gewaltig. Tritt nun aber eine Krise auf, dann gehen beide Aktien stark in den Keller und es droht sogar der Totalverlust. Sie haben also ein hohes Risiko (aber auch eine große Chance auf eine hohe Rendite).
  • Besser ist es, wenn Sie Ihre Wertpapiere so auswählen, dass sich die Kurse unterschiedlich entwickeln, Sie also eine negative Kovarianz besitzen. Durch diesen Diversifikationseffekt können Sie das Risiko mindern, da ja im Verlustfall der einen Aktie die andere Aktie als Puffer dient. Eine negative Kovarianz senkt also das Risiko!
  • Diese Überlegung führen Sie nun auf viele verschiedene Anlageoptionen fort. Mischen Sie diese möglichst sinnvoll aus sicheren Anlagen, Aktien mit hohem Risiko und konservativen Aktien, so können Sie das Risiko weiter minimieren und erhalten somit die optimale Mischung aus Rendite und Risiko.

Es lohnt sich also seine Wertpapiere behutsam auszuwählen, damit Sie auch aus der nächsten Krise als Gewinner hervorgehen.

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