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Einfache Extremwertprobleme lösen - so gehen Sie vor

Einfache Extremwertprobleme lösen - so gehen Sie vor4:17
Video von Galina Schlundt4:17

Extremwertprobleme findet man in den unterschiedlichsten Bereichen. Wer kennt das nicht? Es sind bestimmte Rahmenbedingungen gegeben und es wird ein optimales Ergebnis gesucht. Oft findet man jedoch eine ganz einfache Lösung für das Problem, wenn man die richtige Herangehensweise hat.

Was Sie benötigen:

  • Stift
  • Papier
  • mathematisches Verständnis
  • Ableitungsregeln

Modellieren der Extremwertprobleme

  • Zunächst müssen Sie eine Funktionsgleichung f aufstellen, die von einem Parameter, meistens verwendet man x, abhängig ist. x bezeichnet dabei die variable und unbekannte Größe, die so gewählt werden muss, damit am Ende ein maximales oder minimales Ergebnis für das Extremwertproblem erreicht wird.
  • x kann dabei z. B. für die Länge eines Tisches oder das Gewicht eines Ziegels stehen.
  • Sie haben dann z. B. eine Funktion der Form f(x)=2x3-4x+3 gefunden.
  • Es kann aber auch sein, dass die Funktion im ersten Schritt von zwei oder mehr Variablen abhängig ist, also z. B. f(x,y)=5x2-2xy+3y-6.
  • Nun müssen Sie eine Nebenbedingung finden, die eine Variable in Abhängigkeit der anderen Variable angibt. Gilt z. B. y=2x+2, dann können Sie dieses y in die Funktionsgleichung einsetzen und erhalten nun eine einfache Funktionsgleichung, die nur von x abhängig ist. In diesem Beispiel wäre dies nach Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: f(x)=5x2-2x(2x+2)+3(2x+2)-6=x2+2x+6.
  • Der arctan ist die Umkehrfunktion des Tangens im Intervall ]-pi/2,pi/2[. Das ist …

  • Dieses Beispiel wird im Folgenden weiter untersucht.

Einfaches Differenzieren - so geht's

  • Haben Sie die Funktionsgleichung gefunden, die Ihr Extremwertproblem modelliert, so müssen Sie nur noch den speziellen Wert für x finden, der Ihre Funktion minimiert oder maximiert.
  • Dazu müssen Sie die erste Ableitung der Funktion nach x bilden. Hierfür könnten Sie, je nach Schwierigkeit der Funktionsgleichung, die Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel benötigen. Falls Ihnen diese nicht mehr aus der Schule geläufig ist, finden Sie sie in einfachen Ableitungsregeln in gängigen Formelsammlungen oder Büchern.
  • In unserem Beispiel erhalten wir nun die Ableitungsfunktion f'(x)=2x+2.
  • Sie müssen wissen, dass nur dort eine Extremstelle liegen kann, wo die Bedingung f'(x)=0 erfüllt ist.
  • Also müssen Sie im nächsten Schritt die Ableitung gleich 0 setzen. In diesem Beispiel wäre dies 0=f'(x)=2x+2 <=> 2x=-2 <=> x=-1.
  • An der Stelle x=-1 liegt also ein Kandidat für eine Extremstelle vor.
  • Bei Ihren Extremwertproblemen könnten natürlich mehrere Kandidaten vorliegen. Diese sind im nächsten Schritt auch einzeln zu prüfen. In diesem einfachen Beispiel liegt nur ein Kandidat vor.

Einfaches Differenzieren erfolgreich - und nun?

  • Um herauszufinden, ob an den ermittelten Stellen einfache Extremstellen vorliegen, muss die zweite Ableitung gebildet werden.
  • Es gibt drei Möglichkeiten: Es gilt f''(x)<0, hier liegt ein lokales Maximum vor. Oder: Es gilt f''(x)>0, hier liegt ein lokales Minimum vor. Oder: Es gilt f''(x)=0, hier liegt keine Extremstelle vor (es handelt sich um einen sogenannten Sattelpunkt).
  • In dem hier besprochenen, einfachen Beispiel muss also die zweite Ableitung an der Stelle x=-1 untersucht werden. Zunächst gilt f''(x)=2. Also auch f''(-1)=2.
  • Es liegt also wegen f''(-1)>0 ein lokales Minimum an der Stelle x=-1 vor.
  • Haben Sie bei Ihren Extremwertprobleme weitere Kandidaten gefunden, so müssten Sie für jeden Kandidaten nun ebenfalls prüfen, ob eine Extremstelle vorliegt und welcher Art diese ist.

Wie Sie sehen, ist es wirklich einfach, eine Lösung für die meisten Extremwertprobleme zu finden. Die größte Schwierigkeit liegt lediglich im Aufstellen der richtigen Funktionsgleichung für das jeweilige Extremwertproblem.

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