Differentialfunktion den Mathematik-Nachhilfeschülern verständlich erklären

So erklären Sie in Analysis die Differentialfunktion

1. Überlicherweise wird die Differentialfunktion über die Steigung einer Tangente eingeführt. Dabei steht die Frage nach der Steigung einer Funktion im Mittelpunkt des Interesses. 
2. Vielleicht starten Sie aber erst einmal mit einem ganz einfachen (und bekannten) Fall, nämlich einer Geraden. Bei Geraden y = mx + b ist die Steigung relativ leicht zu ermitteln, es ist die Zahl "m", die vor dem x steht. Je größer die Steigung m, desto steiler ist die Gerade. Bei negativem "m" fällt die Gerade. Bis dahin gibt es meist gedanklich kein Problem.
3. Nun wählen Sie als nächstes Beispiel die Normalparabel y = x². Der Funktionsgraph sollte aufgezeichnet werden.
4. Schnell ist ersichtlich, dass diese Funktion in einzelnen Punkten unterschiedliche Steigungen hat. Beispielsweise ist die Steigung bei x = 0 tatsächlich Null, bei x = 2 ist sie größer als bei  x = 1. Man kann versuchen, Tangenten anzulegen, die das Steigungsverhalten der Funktion wiedergeben und (mit Steigungsdreiecken) deren Steigung bestimmen - eine zeichnerische Annäherung an das Problem.
5. Wie aber kann man sich rechnerisch nähern und dabei die Differentialfunktion entwickeln? Auch hier helfen  - vor der Verallgemeinerung - Rechenbeispiele.


Funktion - Berechnung von b

Bei einer Funktion soll die Konstante "b" berechnet werden. Dabei kann es sich nur um eine lineare …

6. Bleiben Sie bei der Normalparabel und legen Sie als Näherung für die Tangentensteigung zunächst Sekanten an die Parabel. Wenn Sie beispielsweise im Punkt P0 (2/4) die Tangentensteigung berechnen wollen, wählen Sie als ersten Hilfspunkt P1(3/9) aus und berechnen die Steigung der entsprechenden Sekante (Steigungsdreieck). Diese Steigung ist natürlich noch kein guter Wert, also muss man den Punkt näher rücken, zum Beispiel P2 (2,5/6,25). Wieder die Steigung der Sekante berechnen.
7. Legen Sie eine Tabelle an, in der Sie die Punkte P1, P2 etc. eintragen, dahinter den Wert für die Steigung. Halbieren Sie fortwährend den Abstand zu P0. Spätestens nach drei bis vier Schritten wird der Schüler merken, dass es für die berechneten Steigungen einen Grenzwert gibt (nämlich 4), der der Tangentensteigung in P0 dann entspricht.
8. Natürlich könnte man dieses Rechen- und Tabellenverfahren für jeden Punkt der Parabel und für jede Funktion immer wieder neu machen... das kostet aber Zeit und Geduld. Also wäre ja wohl eine allgemeine Berechnungsgrundlage (und noch besser: eine Formel) genau das Richtige, um das Problem ein für alle Mal zu lösen.
9. Und schon sind Sie bei der Verallgemeinerung, nämlich der Differentialfunktion, die nichts weiter ist, als eine Grenzwertbetrachtung für die Sekantensteigungen, wenn der Probepunkt immer dichter an den Punkt herankommt, für den man die Steigung berechnen will.
10. Und diese Differentialfunktion kann man für jede beliebige Funktion aufstellen, nicht nur für Parabeln. So gelangt man letztendlich bei der Grenzwertbetrachtung zu den Ableitungsregeln, beispielsweise für Potenzfunktionen.