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Die Axiome der Mathematik verständlich erläutert

Was sind eigentlich Axiome in der Mathematik und für was werden sie benötigt? Die Antwort liegt, wie so oft, ganz nahe und ist schnell gefunden.

Die Mathematik ist axiomatisch aufgebaut.
Die Mathematik ist axiomatisch aufgebaut.

Was Sie benötigen:

  • mathematisches Teilgebiet
  • Aussage
  • Beweisidee

Aufbau der Mathematik

Die Mathematik ist axiomatisch aufgebaut. Das bedeutet, es werden einige Grundaussagen, die sogenannten Axiome, formuliert, aus denen sich sämtliche für einen Beweis notwendige Informationen ableiten lassen.

  • Je nach mathematischer Teildisziplin können diese Axiome unterschiedlicher Natur sein. In der Algebra werden für das Rechnen mit Zahlen beispielsweise sogenannte Körper benutzt, die bestimmte Körperaxiome erfüllen müssen.
  • Neben dem Assoziativgesetz muss der Körper auch das Kommutativgesetz erfüllen. Ein Körper besitzt ein neutrales Element. Es muss zu jedem Element des Körpers ein inverses Element geben. Außerdem muss das Distributivgesetz erfüllt sein und die triviale Gleichung 1 ungleich 0 erfüllt sein.
  • Nun können Sie z. B. die Behauptung "Die Menge der natürlichen Zahlen N ist ein Körper" widerlegen. Es existiert beispielsweise kein neutrales Element in N. Nehmen Sie sich ein beliebiges Element aus N heraus, so werden Sie ebenfalls vergeblich nach einem inversen Element in N suchen. Der Beweis lässt sich formal sehr einfach durch einen Widerspruchsbeweis führen.

Axiome in anderen Teilgebieten

  • In der Statistik bilden beispielsweise die Axiome von Kolmogorow eine mathematische Grundlage, die ein Berechnen bestimmter Wahrscheinlichkeiten möglich machen. So muss das Eintreten eines Ereignisses des Ereignisraums eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 besitzen. Das sichere Ereignis hat trivialerweise die Wahrscheinlichkeit 1. Ebenso muss die σ-Additivität erfüllt sein.
  • Auch in der Physik spielen Axiome eine wichtige Rolle. In der Statik sind neben dem Parallelogrammaxiom das Gleichgewichtsaxiom und das Trägheitsaxiom zu beachten.

Sie sehen, Axiome begegnen Ihnen in vielen Teilgebieten der Mathematik und der Physik und bilden das Fundament dieser Wissenschaften.

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