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Der Höhensatz des Euklid - eine kurze Einführung mit Beispielen

Der Höhensatz des Euklid wird oft als mathematisches "Anhängsel" zum Satz des Pythagoras betrachtet. Dabei zeigen schon einfache Beispiele seine interessante Eigenständigkeit.

Der Höhensatz hatte in der Antike eine Anwendung bei der Landvermessung.
Der Höhensatz hatte in der Antike eine Anwendung bei der Landvermessung.

Was Sie benötigen:

  • Grundkenntnisse rechtwinkliges Dreieck

Der Höhensatz des Euklid - das wird darunter verstanden

  • Der Höhensatz des Euklid gehört zwar formell zur Satzgruppe des Pythagoras, hat jedoch eine gewisse Eigenständigkeit, da er einige neue Erkenntnisse (und auch Formeln) für das rechtwinklige Dreieck bereithält.
  • Im rechtwinkligen Dreieck (mit 90-Grad-Winkel an der Dreiecksspitze C) gibt es im Prinzip nur eine "richtige" Höhe, nämlich von der Ecke C auf die gegenüberliegende Hypotenuse bzw. Seite c. Diese Höhe wird allgemein mit dem Buchstaben "h" abgekürzt. Die beiden anderen Höhen entsprechen den Katheten a und b. 
  • Diese Höhe teilt die Hypotenuse c in zwei Teile auf: q und p. Diese beiden sog. Hypotenusenabschnitte tauchen auch schon in den beiden Kathetensätzen auf, die man als Vorläufer des Pythagoras bezeichnen kann.
  • Der Höhensatz des Euklid schafft nun eine Verbindung zwischen dieser Höhe h und diesen beiden Abschnitten.
  • In Formeln lautet der Satz: h² = p x q.
  • Aber was bedeutet er? Errichtet man an der Höhe h ein Quadrat, so hat dieses den gleichen Flächeninhalt wie ein Rechteck, das die Seiten p und q hat. Der Satz des Euklid macht also ebenfalls wie der Pythagoras Aussagen über Flächen (und deren Umwandlung) am rechtwinkligen Dreieck. 

Beispiele zum Höhensatz - so wird seine Aussage deutlich

  • Zunächst einmal stellt der Höhensatz eine weitere Schülerqual dar, denn mit dieser neuen Formel lassen sich weitere Größen in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen, egal, ob es sich um die Abschnitte p und q oder um die Höhe im Dreieck handelt. Eine Anwendung ist hier zunächst nicht in Sicht.
  • Des Weiteren hat der Satz natürlich eine historische Komponente, denn mit ihm lässt sich eine alte Aufgabe aus der Mathematik geometrisch (also nur mit Zirkel und Lineal) lösen: Verwandeln Sie ein gegebenes Rechteck in ein flächengleiches Quadrat oder als erweiterte Aufgabe in ein flächengleiches anderes Rechteck. Dies ist leicht über den Höhensatz möglich, man muss lediglich das rechtwinklige Dreieck dazu konstruieren und dort die Höhe h. Das Problem ist auch als Quadratur des Rechtecks bekannt (nicht: Quadratur des Kreises, ein nicht geometrisch lösbares mathematisches Problem).
  • Was zunächst ebenfalls als rein akademischer Natur erscheint, hatte jedoch in der Antike eine sehr praxisnahe Anwendung, nämlich beim Tausch von Feldern oder Grundstücken. Und da die dezimale Schreibweise von Zahlen noch nicht bekannt war, war die geometrische Konstruktion leichter auszuführen als eine rechnerische Lösung. 
  • Der Höhensatz hat weitere Anwendungen, die ebenfalls in den Bereich der Landvermessung bzw. der Architektur fallen. So lassen sich mit ihm Aufgaben, die auf kurze Verbindungen (Höhen!) hinauslaufen, oder ungewöhnliche Schrägdachkonstruktionen bewältigen.
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