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Binäre Multiplikation - eine einfache Erklärung

Mit dem binären Zahlensystem lassen sich ebenso Rechnungen wie mit dem gewohnten Dezimalsystem durchführen. Dass dabei die Multiplikation einfacher geht, als man vielleicht meinen möchte, zeigt folgende Erklärung.

Binärcodierungen stellen die "Sprache" der Computer dar.
Binärcodierungen stellen die "Sprache" der Computer dar.

Das binäre Zahlensystem

Im Gegensatz zu unserem standardmäßigen Dezimalsystem kommt das binäre System (Dualsystem) nur mit zwei Zahlen aus: 0 und 1. Für diese werden meist die Symbole 0 und 1 verwendet.

  • Um zwei Zahlen zu multiplizieren, benötigen Sie zunächst zwei Faktoren. In diesem Beispiel wird die Zahl 13 mit der 9 multipliziert. Im Dualsystem besitzt die 13 die Zahlenfolge 1101 und die 9 die 1001.
  • Diese Zahlenfolgen ergeben sich dadurch, dass die vier Stellen des Codes unterschiedliche Wertungen haben. Die erste Stelle des Codes ist zweiwertig, d. h. steht hier die 1, dann hat die Zahl schon mal mindestens den Wert 1, steht hier eine 0, wird der mögliche Wert nicht addiert. Der Code 0001 hat folglich den Wert 1.
  • Die zweite Stelle ist zweiwertig, steht hier die 1, ist die Zahl schon mal mindestens eine 2: 0010 = 2.
    Die dritte Stelle ist vierwertig, die vierte achtwertig und so weiter.
  • Will man nun die Zahl 9 bilden, so ergibt sich das durch den Code 1001 - die erste Stelle 1 ergibt den Zahlenwert 1, dazu kommt die 1 an der vierten Stelle, also eine 8. Zusammengerechnet ergibt sich demnach die 9. Bei der 13 geschieht Gleiches: 1101 ergibt sich durch 1+0+4+8 (v.r.n.l.)

So geht die Multiplikation

  • Wenn Sie zwei Faktoren gewählt haben, also zum Beispiel die 13 und die 9, können Sie beginnen:
    Schreiben Sie die beiden Zahlen so nebeneinander, wie Sie es im Dezimalsystem tun würden:
    1101 * 1001
  • Rechnen Sie wie im Dezimalsystem, d. h. multiplizieren Sie die erste Ziffer des 2. Faktors mit dem gesamten ersten Faktor. Nachdem es keine anderen Zahlen außer 1 und 0 gibt, ist die Rechnung einfach:
    1101 * 1001
      1101
  • Der erste Schritt ist getan, führen Sie diese einfache Rechnung einfach mit allen vier Stellen des zweiten Faktors durch:
    1101 * 1001
      1101
        0000
          0000
           1101
  • Jetzt haben Sie die beiden Zahlen miteinander multipliziert, um die binäre Multiplikation abzuschließen müssen Sie sie die entstandenen Codes nur noch addieren:
    1101 * 1001
      +1101
        +0000
          +0000
            +1101
  • Gehen Sie dabei vor wie bei einer normalen Dezimaladdition, d. h. von rechts nach links:
    Es entsteht der Zahlencode 1110101.
  • Nachdem Sie keine Zweier schreiben können, merken Sie sich den Übertrag, schreiben eine Null an dieser Stelle und rechnen dafür bei der nächsten Stelle mit einer zusätzlichen Eins weiter.

Damit ist die Multiplikation abgeschlossen. Während wir vergleichsweise lange Zeit für so eine Rechnung benötigen, erledigen Computer unzählige Kalkulationen dieser Art pro Sekunde.

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