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Baumdiagramme erklären - so berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten

Viele Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich leicht mithilfe von Baumdiagrammen übersichtlich darstellen, erklären und berechnen. Nur die Pfadregeln in diesen Baumdiagrammen müssen Sie dabei beachten.

Baumdiagramme ähneln Verästelungen eines Baumes.
Baumdiagramme ähneln Verästelungen eines Baumes. © Templermeister / Pixelio

Baumdiagramme erstellen - so wird's gemacht

Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung, bei denen ein Würfel mehrere Male geworfen wird, aus einer Urne mehrere Male gezogen wird oder aus einer anderen Menge von Objekten gewählt wird, sind ein weites Feld zum Einüben des Wahrscheinlichkeitsbegriffes. Sie lassen sich in den meisten Fällen durch das Zeichnen sogenannte "Baumdiagramme" erklären.

  1. Die Aufgabe startet an einem festen Punkt, den Sie auf dem Papier markieren.
  2. Für jeden Wurf, jede Wahl, jedes Ziehen aus der vorgegebenen Menge zeichnen Sie von diesem Punkt aus eine Art Verästelung. Je nach Aufgabenstellung führt je ein Ast zu einem möglichen Ausgang des Würfelns oder Ziehens. So haben Sie beim Würfeln die möglichen Ausgänge 1 bis 6, also 6 Äste; bei Urnen oder Kästchen zum Beispiel mögliche Ausgänge wie "tot" oder "lebendig", vielleicht aber auch Farben (rot, schwarz, weiß) oder Buchstaben (a,b,c).
  3. Markieren Sie die Enden der Äste bzw. Pfade mit den entsprechenden "Ausgängen" und schreiben Sie direkt an die Pfade die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Bei einem guten Würfel beträgt diese für jeden Pfad 1/6.
  4. Bei vielen Aufgaben aus dieser Übungsgruppe wird jedoch mehrmals geworfen oder gezogen. Es sind mehrstufige Zufallsversuche.
  5. Jeder neue Wurf, jedes neue Ziehen oder Auswählen setzt nun an den Enden dieser (ersten) Pfade erneut an. 
  6. Von jedem Endpunkt der ersten Pfade erhalten Sie eine neue Verästelung, die dem zweiten Wurf bzw. dem zweiten Ziehen entspricht.
  7. Auch bei den nächsten Stufen des Zufallsexperimentes schreiben Sie wieder die Wahrscheinlichkeiten an die Pfade in den Baumdiagrammen. Achten Sie dabei darauf, dass sich die Wahrscheinlichkeiten ändern können, je nachdem, ob Sie gezogene Objekte (Kugeln in einer Urne) zurücklegen oder nicht!

Bei vielen möglichen Ausgängen oder mehreren Stufen kommen Sie schnell in Platzschwierigkeiten auf dem Zeichenpapier. Planen Sie also entweder schon von Anfang an großzügig oder setzen Sie einfach Punkte für die Ihnen bekannten Ausgänge. Keinesfalls müssen Sie alle Pfade - sobald Sie die Aufgabe durchblicken - aufschreiben.

Pfadregeln erklären - Wahrscheinlichkeiten berechnen

In diesen Baumdiagrammen gelten im Prinzip nur zwei Regeln, nämlich die Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades (sogenanntes "Und-Ereignis") und die Addition von Wahrscheinlichkeiten, wenn mehrere Pfade im Baumdiagramm betrachtet werden (sogenanntes "Oder-Ereignis"). Ein einfaches, erläuterndes Beispiel soll die Vorgehensweise in den Baumdiagrammen erklären.

  1. Ein Würfel soll zweimal geworfen werden, ein zweistufiges Zufallsexperiment. Das dazugehörige Baumdiagramm hat also für den ersten Wurf 6 Äste bzw. Pfade, alle haben eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 (bei einem guten Würfel).
  2. Von den Enden dieser 6 Äste aus wird nun der zweite Wurf gezeichnet. An jedem Astende verzweigen Sie wieder zu den 6 Möglichkeiten des Würfels. Die Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Würfe beträgt wieder 1/6, schließlich haben Sie ja am Würfel nichts verändert.
  3. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, nacheinander eine "3" und (!) eine "1" zu würfeln (Und-Ereignis)? Sie multiplizieren die beiden Wahrscheinlichkeiten 1/6 x 1/6 = 1/36 entlang des Pfades 3-1.
  4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine gerade Zahl, dann eine ungerade Zahl zu würfeln (Oder-Ereignis)? Für diese Aufgabe kommen etliche Pfade, die alle die Wahrscheinlichkeit 1/36 haben, in Betracht. Am besten markieren Sie sich diese mit einem Stift in Ihrem Baumdiagramm. So gehören zum Beispiel zur gewürfelten "2" (kleinste gerade Zahl) die Pfade 2-1, 2-3 und 2- 5.
  5. Um die gewünschte Wahrscheinlichkeit zu erhalten, addieren Sie die Wahrscheinlichkeiten aller gefundenen Pfade.
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