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Asymptote bestimmen

Die roten Linien sind die Asymptoten des Graphen.
Die roten Linien sind die Asymptoten des Graphen.
Die Aufforderung, die Asymptote zu bestimmen, muss bei niemandem Panik auslösen. Meistens ist es einfacher, als viele befürchten. Mit ein paar einfachen Regeln verliert das Thema seinen Schrecken.

Asymptoten im Unendlichen

Eine Asymptote ist eine Kurve, der sich ein gegebener Graph annähert, die dieser aber nicht erreicht. Dieser Verlauf ist typisch für gebrochene Funktionen und auch für solche, die Definitionslücken haben.

  1. Bei gebrochen-rationalen Funktionen bestehen Zähler und Nenner aus einem Polynom, also einer Summe von Produkten der Variablen x in verschiedenen Potenzen mit einem Faktor. Zum Beispiel Zähler 5 x5 + 2 x3 - x + 1 Nenner: 5 x3 + 2 x+ x. Wenn Sie Produkte im Zähler oder Nenner stehen haben, zum Beispiel (x+2)(3x2-1) multiplizieren Sie diese erst aus und sortieren Sie das Ergebnis im Zähler und im Nenner nach den Potenzen.
  2. Betrachten Sie um die Asymptote zu bestimmen nur die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner, man spricht vom Zähler- und vom Nennergrad.

So bestimmen Sie die Näherungskurve

  • Im Beispiel ist der Zählergrad 5 und der Nennergrad 3. Der Grad des Zählers ist also mehr als um 1 größer als der des Nenners. Teilen Sie den Zähler durch den Nenner (Polynomdivision). Sie bekommen eine Ersatzfunktion, wenn Sie den nicht mehr teilbaren Rest ignorieren. Das ist die Asymptote.
  • Wenn der Zählergrad nur um 1 größer ist als der Grad des Nenners, werden Sie eine Gerade erhalten. Auch deren Funktion wird über die Polynomdivision ermittelt.
  • Sofern der Zähler und der Nenner den gleichen Grad haben, bekommen Sie eine waagerechte Asymptote. Den Abstand zur x-Achse ermitteln Sie, indem Sie den Faktor vor der höchsten Zählerpotenz durch den der höchsten Nennerpotenz dividieren.
  • Sollte der Grad des Nenners größer sein als der des Zählers, dann ist die x-Achse die gesuchte Asymptote.

Ermitteln der Polstellen

Bei gebrochen rationalen Funktionen kann es Definitionslücken geben, denn das Polynom im Nenner kann unter Umständen für bestimmte x-Werte den Wert 0 annehmen.

  1. Bestimmen Sie, an welchen Stellen der Nenner den Wert 0 annimmt, um die Definitionslücke zu finden.
  2. Nun kommt es darauf an, ob der Zähler an der gleichen Stelle den Wert 0 annimmt. In dem Fall können Sie oft durch Kürzen die Lücke beheben. Beispiel Zähler x2 - 1 Nenner x - 1. An der Stelle x = 1 sind Zähler und Nenner 0. Da x2 - 1 = (x+1)(x-1) ist, können Sie durch (x-1) kürzen. Es gibt keine Polstelle, sondern eine stetig behebbare Definitionslücke.
  3. In allen anderen Fällen haben Sie an der Stelle, wo der Nenner 0 wird, eine Polstelle. Dort gibt es eine senkrechte Asymptote, mit der Gleichung x = c. Beispiel: Zähler x2 + 1 Nenner x + 1  Nenner hat für x= -1 den Wert 0, also ist die Asymptote x = -1.
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