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Änderungsrate in Mathe berechnen - so klappt's für Funktionen

Änderungsrate in Mathe berechnen - so klappt's für Funktionen3:23
Video von Galina Schlundt3:23

Viele können mit dem Begriff der "Änderungsrate" nicht viel anfangen. Dabei lässt sich diese Größe, die eng mit der Ableitung bzw. Steigung einer Funktion verbunden ist, in der Mathematik relativ leicht berechnen.

Änderungsrate - was ist das?

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  • In vielen Naturwissenschaften interessiert es für die Interpretation von Messergebnissen oder Experimenten, wie sich eine gemessene Größe mit der Zeit oder auch mit dem Ort ändert.
  • Ein Maß für diese Änderung ist die sog. Änderungsrate. Darunter versteht man bei diskret gemessenen Größen nichts anderes als der Unterschied zweier Messwerte (y2 - y1 beispielsweise) geteilt durch den Abstand zwischen beiden Messungen, also die Zeit- (t2 - t1) oder Ortsdifferenz (x2 - x1). 
  • Der Ausdruck (y2 - y1) : (x2 - x1) als Änderungsrate der Messgröße wird in der Mathematik auch Differenzenquotient genannt.
  • Liegen die Messerergebnisse jedoch bereits als Funktion y = f(x) vor, so kann die Änderungsrate ebenfalls als Differenzenquotient berechnet werden, falls man die Änderung in größeren Abständen wissen will.
  • Eine punktuelle oder lokale Änderungsrate an der Stelle xo ergibt sich, wenn man die Ableitung f'(x) (also den Differenzialquotienten) dieser Funktion berechnet und diese in die zu untersuchende Stelle xo einsetzt: f'((xo). Der berechnete Wert gibt Auskunft über das Verhalten der Funktion an dieser bestimmten Stelle, wie sich diese dort nämlich ganz lokal ändert, also ob sie steigt, fällt oder beispielsweise keine Änderung aufweist, also ein lokales Extremum vorliegt.
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Änderungsrate - ein durchgerechnetes Beispiel aus der Mathematik

  • Gegeben sei die Funktion f(x) = x³ +4, ein Art Wachstumspolynom aus der Mathematik.
  • Die Änderungsrate dieser Funktion zwischen den beiden x-Werten x1= 1 und x2 = 3 soll berechnet werden.
  • Zunächst berechnen Sie die beiden zugehörigen Funktionswerte, also y1 = f(x1) = f(1) = 1³ + 4 = 5 und y2 = f(x2) = f(3) = 3³ + 4 = 31. 
  • Die Änderungsrate ist in diesem Fall der Differenzenquotient. Sie  rechnen (y2 - y1) : (x2 - x1) = (31 - 5) : (3 - 1) = 26 : 2 = 13. Die Funktion steigt in diesem Bereich also stark an.
  • Die lokale Änderungsrate für xo = 2 berechnen Sie mit der Ableitung f'(x) = 3 x². Es gilt f'(xo) = f'(2) = 3 (2)² = 12. Man sieht, dass die lokale Änderungsrate beim x-Wert 2 in der gleichen Größenordnung liegt wie die Änderungsrate zwischen 1 und 3, was auch anschaulich klar ist. 
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